Matteguiden.se - Matte A
Funktioner


Exponentialfunktioner

En exponentiell förändring innebär att någonting ökar eller minskar i värdet med en viss procent för varje steg på x-axeln i ett diagram.

Nisse har gått och köpt en tavla för 10 000 på auktion. Man vet att konstnärens tavlor ökar i värde med tiden. Nisse är även intresserad av matematik och bestämmer sig för att räkna ut tavlans värde efter 10 år om
a) Nisse antar att tavlan ökar i värde med 1 000 kr per år?
b) Nisse antar att tavlan ökar i värde med 10% per år?

Vi börjar med att beteckna tiden med x år och tavlans värde med y kr.

a) I detta fall så ökar tavlans värde linjärt med tiden enligt följande samband:
där 10 000 är startvärdet, det den var värd nu när Nisse köpte den. 1000 kr är ökningen per år och x:et anger hur många år. 2 år ger till exempel 2 000 kr mer än 10 000 (1 000 · 2).

Om x= 10 så får tavlan värdet:

b) Om vi ska gå efter denna modell så blir tavlans värde efter
1 år
2 år
3 år

1,10 fås av att tavlans värde ska öka med 10%. (se Ändringsfaktor) När vi sedan ökar på med 2 respektive 3 år så multiplicerar vi varje års ökning med varandra (se Flera ändringar efter varandra), vilket resulterar i att man tar ökningen upphöjt till hur många gånger den görs.

10 år ger alltså

Om vi sätter in dessa värden samt de värdena för åren 4-9 så ser vi att de ligger på en jämnt böjd kurva i jämförelse med den linjära växten från a-uppgiften. Vi säger att värdet ökar exponentiellt med tiden.

Exponentiell tillväxt

Regel för exponentialfunktioner

Exempel 1

Anton och Demir fick i uppgift att teckna ett uttryck för antalet bakterier i en bakteriekultur. Efter några minuter så kom de fram till att man kunde beräkna antalet bakterier med formeln , där t = antalet timmar efter att man började odla dem.
a) Beräkna och förklara med ord vad betyder.
b) Hur många bakterier fanns det efter 9,5 timmar?


a) N är antalet bakterier och N(t) betyder att antalet bakterier styrs av variabeln t. t var ju tiden i timmar efter det att man börjat odla dem. N(0) betyder att t=0 och då t=0 så har man ju bara hunnit börja med odlingen, allstå innebär N(0) att man räknar ut hur många bakterierna var från början. Ersätt t i formeln med 0:

b) Vi sätter att tiden t är 9,5, t=9,5. Sätt in detta i formeln och räkna ut värdet på N.

Svar: a) N(0) är antalet bakterier från början, vilket är 500 stycken.
b) Det är 538 bakterier efter 9,5 timmar.

©Copyright Matteguiden | KopieringsOskyddad
Elin Ericsson • Tobias Nyholm • Hannes Hagman • Joakim Carselind • Simon Janghede