Matteguiden.se - Matte B
Funktioner


Proportionalitet mot x2 och √x

Proportionalitet mot x2

där k är proportionalitetskonstanten.


Det regeln här ovan säger är att y är proportionell mot x2. Vi kan alltså beräkna proportionalitetskonstanten k genom att dela y med x2. I funktioner med det utseende som hos regeln råder det proportionalitet. I en funktion som har har utseendet y=4x2+3 så råder det inte proportionalitet då den har en konstant utöver kx2.

Proportionaliteten kan bevisas på två sätt:

Exempel 1

En liten vagn accelereras på en luftkuddebana av en kraft som får verka under en viss sträcka. Vagnen startar utan begynnelsefart och man bestämmer den slutfart x m/s som vagnen får då den rört sig den givna sträckan. Den energi y joule (J) som vagnen tillförts beräknas för olika stora krafter. I tabellen redovisas resultatet av en försöksserie.

y 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25
x 0,87 1,22 1,50 1,72 1,94

Visa algebraiskt att energin är proportionell mot kvadraten på farten och skriv upp sambandet mellan y och x.


Uppgiften ber oss bevisa att energin (y) är proportionell mot kvadraten på farten (x), alltså att y är proportionell mot x2. För att bevisa om det råder proportionalitet mellan dessa så beräknar vi k enligt regeln ovan som säger att .
Alltså är .





Som vi ser så få vi näst intill lika stor kvot på alla divisionerna vilket bevisar att y är proportionellt mot x2.
Medelvärdet på k blir:

Då vi vet k kan vi skriva upp sambandet

Svar: Ja, y är proportionellt mot x2 och .

Proportionalitet mot √x

där k är proportionalitetskonstanten.

Precis som i Proportionalitet mot x2 så kan proportionaliteten påvisas både algebraiskt och grafiskt.

Exempel 2

Man låter en liten blykula falla fritt en sträcka som är x meter. Med elektronisk hjälp lyckas man bestämma kulans slutfart y m/s. Mätvärdena presenteras i tabellen:

x 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20
y 2,0 2,8 3,4 3,9 4,4 4,8

a) Visa algebraiskt att slutfarten är proportionell mot kvadratroten ur sträckan och bestäm ett värde på proportionalitetskonstanten.
b) Bestäm sambandet mellan y och x.


a) Här ska vi alltså bevisa att y (slutfarten) är proportionellt mot √x (kvadratroten ur sträckan). Precis som i exemplet med x2 så beräknar vi kvoten mellan y och √x.
alltså:


Vi ser att det råder liknande kvoter vilket innebär att y är proportionell mot √x. Medelvärdet på k är:

b) Vi sätter in värdet på k i formeln y=kx2:

©Copyright Matteguiden | KopieringsOskyddad
Elin Ericsson • Tobias Nyholm • Hannes Hagman • Joakim Carselind • Simon Janghede