Matte B - Linjära samband
Ekvationssystem
Här nedan ser vi ett så kallat ekvationssystem. Det är två ekvationer och ”klammern” är till för att visa att y har samma värde.
Vi kan lösa ekvationssystemen på två sätt; algebraiskt eller grafiskt. Båda sätten är relativt enkla.
Grafisk lösning
En grafisk lösning av ekvationssystem bygger helt enkelt på att man bestämmer skärningspunkten mellan linjerna med de två ekvationerna. Det är koordinaterna i skärningspunkten som utgör lösningen till ekvationssystemet.
(Detta exempel är hämtat ur Gleerups Delta Matematik kurs A och B.)
Lös ekvationssystemet grafiskt.
Rita upp de båda linjerna antingen på ett papper eller i miniräknaren.
Linjerna har ekvationerna respektive . Skärningspunkten mellan linjerna har koordinaterna x=10 och y=15, vilket innebär att lösningen till systemet är x=10 och y=15.
Svar: x=10 och y=15.
Algebraisk lösning
Detta sätt att lösa ekvationssystem kan ibland vara att föredra eftersom det ger ett exakt värde på lösningen och kan även vara enklare att genomföra.
Lös ekvationsystemet
Sätt båda y-värdena lika med varandra.
För att få fram y så sätter vi in bara in x-värdet i en utav ekvationerna.
Insättning ger:
Svar: Lösningen är
Algebraisk lösning – Additionsmetoden
Additionsmetoden bygger på att vi adderar de båda vänsterleden och sätter dem lika med de båda adderade högerleden.
Lös ekvationssytemet
Då vi adderar de båda ekvationerna ser vi att y-termerna försvinner och vi kan då lösa ut x.
För att sedan få fram y-värdet så sätter vi in x-värdet i en utav ekvationerna:
Svar: Lösningen är
Ibland måste man dock multiplicera ekvationerna med lämpliga tal för att additionsmetoden ska fungera.
Lös ekvationssytemet
Här multiplicerar vi den första ekvationen med 3 och den andra med -2. Det gör vi för att koefficienterna hos x-termerna blir motsatta tal och därmed försvinner x-termerna. Vi skulle även kunna använda samma metod för att utesluta y.
Nu tillämpar vi additionsmetoden och får följande resultat:
Sätt in y=1 i en av ekvationerna:
Svar:
Algebraisk lösning – Substitutionsmetoden
Denna metod bygger på att vi löser ut antingen x eller y i den första ekvationen och ersätter den termen i den andra ekvationen med det uttryck man får.
Lös ekvationssytemet
Vi löser ut y i den första ekvationen…
…och ersätter y i den andra ekvationen med det uttryck vi fick fram:
Nu när vi vet vad x har för värde så kan vi också beräkna värdet på y:
Svar: Lösningen är
16 maj 2010 @ 21:16
I exempel 5 har Ni skrivit följande:
2x – y = 7 -> y = 2x + 7
Detta ska, enligt min mening, vara följande:
2x – y = 7 -> y = 2x – 7
(Endast för att det inte ska bli något missförstånd för övriga läsande)
16 maj 2010 @ 21:31
Tack för att du påpekade felet. Måste varit ett slarvfel eftersom det stod rätt på övriga ställen i exemplet.
24 maj 2010 @ 16:03
Går additionsmetoden och substitutionsmetoden lika bra att använda till samma tal? Och finns det något speciellt tillfälle då endast ena metoden ger rätt svar, eller går att använda, och den andra inte?
30 maj 2010 @ 2:33
Substitutionsmetoden funkar alltid, den är hundraprocentig. Det finns tillfällen då additionsmetoden ej fungerar, men generellt sätt så ska båda metoderna fungera på samma tal.
21 oktober 2010 @ 17:49
Jag förstår inte syftet med substitutionsmodellen..
5 november 2010 @ 15:19
substitutionsmodellen verkar bara extremt krånglig.
Dock fattar jag inte hur man ska veta vilket tal man ska multiplicera med då det är nödvändigt i additionsmodellen.
Exempel 4; hur vet jag att det jag ska multiplicera med är just 3 och -2?
6 november 2010 @ 16:35
Jag lovar att substitutionsmodellen blir den du kommer använda när uttrycken blir krångligare
I exempel 4 så tar vi just gånger 3 i första, och gånger -2 i andra: Bara för att vi ska få två ekvationer som man kan ”addera ihop så att alla termer med x försvinner”. I vårt exempel tar vi 3 och -2 för att få 6x och -6x som svar. Adderar man ihop 6x och -6x så får vi noll.
Vi hade lika gärna kunnat tagit 6 och -4. Då hade vi fått 12x och -12x, vilket också blir noll när man adderar ihop
8 november 2010 @ 19:13
Tjennare! Jo jag undrar: Hur får ni x=6x-21+1 -5x=-20 ? Vad får man -5x ifrån?
13 november 2010 @ 17:37
@William:
Flytta alla X till vänster och siffror till höger så får du se.
24 mars 2011 @ 15:51
Hur räknar jag ut detta tal, det är ett ekvationssystem som ska lösas grafiskt
Y=3-x
Y=3x-1
24 mars 2011 @ 16:07
Det är den översta som jag inte kan rita upp, hittar inget m värde
24 mars 2011 @ 20:11
Hur räknar jag ut 2x-3y=11
y=2x/3+2
Med additionsmetoden?
Btw linda m-värdet är 3
25 oktober 2011 @ 14:35
Hej jag undrar hur man räknar ut det här ekvations systemet med hjälp av substionsmetoden: ( första ekvationen ) y-x=2
( andra ekvationen) 2x+y=8
25 januari 2012 @ 16:56
Ja, alltså…….
25 januari 2012 @ 16:56
Ja, alltså…….
25 januari 2012 @ 17:47
Haha. Fy f*n
28 januari 2012 @ 9:02
JAg skulle vilja veta hur man gör om man har x & y och ska ställa upp ekvationssystemet! känner mig helt lost..:s
31 januari 2012 @ 12:06
Jag föredrar additionsmetoden. Kolla exempel 3