Då vi ska studera en funktion lite närmare så kan vi använda oss av derivatan. En situation är t.ex. då vi vill veta om funktionen har en eller flera lokal maximi- eller minimipunkter. Det speciella med dessa extrempunkter är att lutningen, alltså derivatan, i just de punkterna är lika med noll. Den är noll eftersom det är just i dessa punkter som vändningen sker. Ta till exempel funktionen:
Då derivatan var lika med noll hos extrempunkterna så sätter vi att f’(x)=0 och löser sedan ut x.
Nu vet vi att det finns två extrempunkter, en som har x-koordinaten -1 och en som har x-koordinaten 1. För att ta reda på om punkterna är maximi- eller minimipunkter så ska vi göra ett teckenschema.
Teckenschemat ovan visar att då x är lika med -1 eller 1 så är derivatan lika med noll. Då vi ska ta reda på om det är maximi- eller minimipunkter så måste vi kolla lutningen innan och efter dessa punkter. Vi tar då x-värden som är före, mellan respektive efter de båda punkterna där derivatan är lika med noll. Vi börjar med att ge ett värde på -2 och sätter in det i den deriverade funktionen. Sedan sätter vi x=0 och x=2.
Då x=-2 får vi svaret -18, och -18 är ju mindre än noll, alltså blir det negativt i teckenschemat nedan. Däremot får vi svaret 6 då x=0, 6 är större än noll, alltså blir det positivt.
Nu kan vi se ganska tydligt att punkten där x=-1 är en minimipunkt då lutningen först går nedåt och sedan vänder och går uppåt. Tvärtom är det hos x=1 som är en maximipunkt. Här går det först uppåt och sedan neråt.
Om vi vill veta y-koordinaterna för dessa punkter så sätter vi in x-värdena -1 och 1 i den ursprungliga funktionen:
Här ser ni grafen med de båda extrempunkterna:
Terrasspunkter är ett uttryck man använder då man ser att det inte sker någon vändning i punkten där derivatan är noll. Det innebär att om man ser att funktionen är växande på båda sidorna eller avtagande på båda sidorna så är den en terrasspunkt.
©Copyright Matteguiden | KopieringsOskyddad
Elin Ericsson • Tobias Nyholm • Hannes Hagman • Joakim Carselind • Simon Janghede