Gud har skapat de naturliga talen. Resten är människans verk.

-Leopold Kronecker

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte D - Funktionsstudier med derivata


Andraderivata

Andraderivatan

Andraderivatan är helt enkelt derivatan till en funktion som redan har blivit deriverad en gång. Andraderivatan skriver vi så här:

och f”(x) läses f bis x

Det finns en rad andra beteckningar för andraderivatan förutom f’’(x).

andraderivata

Här nedan presenteras det första användningsområdet för andraderivatan:

Om en kropp rör sig utefter en rät linje och befinner sig s(t) meter från utgångsläget vid tiden t sekunder från starten gäller följande:

Kroppens hastighet är

Kroppens acceleration är

Exempel 1

Beräkna


Vi får att

Vi ska alltså räkna ut andraderivatan för y. D börjar vi med att räkna ut derivatan för y och deriverar sedan det nya uttrycket en gång till. Efter lite förkortningar så får vi fram det rätta svaret.

Exempel 2

En hiss startar från bottenplanet och rör sig uppåt. Efter t sekunder har den flyttat sig s meter där

a) Hissen stannar när hastigheten är noll. Hur högt upp är hissen när den stannar?

b) Hur stor är hissens acceleration när den startar?


a) För att få fram hur långt upp hissen har åkt måste vi ju veta hur länge den har åkt. Det är alltså tiden t sekunder som vi först måste få reda på. Den enda info vi har fått är att hastigheten är noll då hissen stannar. Vi behöver därmed en formel för hissens hastighet för att ha något att räkna på. Om vi kikar på reglerna i början på stycket så ser vi att vi kan få fram ett uttryck för hastigheten genom att derivera uttrycket för sträckan, och uttrycket för sträckan är just det vi har. :) Då vi har fått fram formeln för hastigheten så sätter vi den lika med noll och kan då räkna ut tiden t.


Vi sätter derivatan lika med noll
Efter faktoriseringen ser vi tydligt att och att

Vi faktoriserar, alltså bryter ut t och sätter det framför parentesen, nu är antingen t=0 eller parentesen=0. Som väntat får vi två olika svar eftersom hastigheten är noll dels innan den startar (t=0), dels då den stannar (t=6). Den stannar alltså efter 6 sekunder. För att ta reda på hur långt hissen hinner färdas på 6 sekunder sätter vi helt enkelt t=6 i vårt uttryck för sträckan:

Svar: Hissen stannar 5,4 meter upp i luften.

b) enligt reglerna ovan så är accelerationen lika med derivatan av uttrycket för hastigheten. (Man kan även säga att accelerationen är andraderivatan av uttrycket för sträckan eftersom vi deriverar uttrycket för sträckan för att få fram uttrycket för hastigheten och sedan deriveras detta uttryck i sin tur för att få fram accelerationen). Uttrycket för hastigheten räknade vi ut i a-uppgiften så vi tar bara och deriverar detta.

Då hissen startar har det ännu inte hunnit gå någon tid vilket gör att vi kan sätta att t=0 och sedan föra in det i uttrycket a(t) och räkna ut accelerationen:

Svar: Hissens acceleration är 0,9 m/s².

Lokala maxima och minima med andraderivata

Om och har f en lokal minimipunkt i a
Om och har f en lokal maximipunkt i a

Exempel 3

Bestäm lokala maximi- och minimipunkter till kurvan


Vi börjar med att ta reda på första- och andraderivatan till funktionen
och

Sedan räknar vi ut derivatans nollställen

Vi får att
Sedan använder vi dessa värden för att undersöka andra derivatans tecken
ger lokalt maximum i punkten
ger lokalt minimum i punkten

Svar: Lokal maximipunkt är (-2,9) och lokal minimipunkt (0,5)




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. sebastian
    14 maj 2010 @ 20:19

    Kanonbra sida, mycket bättre förklaringar än boken. Perfekt när man pluggar utan lärare.

  2. david
    3 augusti 2010 @ 19:05

    instämmer med ovan

  3. Simon
    8 augusti 2010 @ 18:39

    Härligt att höra grabbar. Tack för feedbacken!

  4. anon
    1 januari 2011 @ 15:51

    bra sida! =) keep it up!

  5. oscar
    8 januari 2011 @ 23:22

    vart kommer tvåan ifrån?

    Hissens acceleration är 0,9 m/s². (från exempel 2)

  6. Realiserad
    16 januari 2011 @ 14:28

    Meter per sekund i kvadrat är enheten för acceleration. I ett st-diagram (ett diagram med sträckan på y-axeln och tiden på x-axeln) ges farten av grafens lutning. Grafens lutning är som bekant k-värdet för grafen dvs Δy/Δx. Detta ger oss att fart=sträcka/tid vilket också är enheten för fart, dvs km/h. I ett vt-diagram (fart på y-axeln och tid på x-axeln) får vi accelerationen genom att dela enheten på y-axeln med enheten på x-axeln, dvs m/s (eller km/h om du så vill) vilket ger (m/s)/s vilket efter förkortning ger m/s^2. Acceleration är således samma sak som fart per tidsenhet. Hoppas detta hjälpte en aning. Bra artikel f.ö.

  7. Johanna
    13 maj 2011 @ 13:28

    Jätte bra förklaringar !!

  8. V.
    18 maj 2011 @ 0:01

    Shit, vad bra förlöaringar!! Har nationella på torsdag!! ;)

  9. Sahand
    18 maj 2011 @ 20:27

    @V.

    Haha, jag med :)

  10. henrik
    7 augusti 2011 @ 12:36

    jättebra sida ! tackar !!

  11. Jonas
    20 december 2011 @ 20:02

    Hur räknar ni ut derivatans nollställen? Jag förstår att man sätter derivatan = 0. Men sen trollar ni fram ett negativt och ett positivt svar från ingenstans utan att ens nästan förklarat hur det gått till. Har sökt i 3 timmar nu för att ta reda på hur man gör men hittar ingenting.

  12. Alexander O Tokarev
    24 februari 2015 @ 15:45

    skitbra förklarat!