Matteguiden.se - Matte D
Funktionsstudier med derivata


Produkter och kvoter

Produkt

Då vi deriverar en produkt av två olika funktioner så måste vi använda oss utav följande regel.

betyder “derivatan av”.

u(x) och v(x) symboliserar två olika funktioner.
Notera att det ska vara två funktioner! Står det 4 * f(x) så är det inte två funktioner man multiplicerar eftersom 4 bara är en konstant.

Exempel 1

Bestäm derivatan
a)

b)
Glöm inte bort den inre derivatan i ln x i uppgift b

Kvot

Då vi deriverar en kvot av två olika funktioner så måste vi använda oss utav följande regel.

u(x) och v(x) symboliserar två olika funktioner.
Notera även här att det ska vara två funktioner! Står det f(x)/4 så är det inte två funktioner man dividerar eftersom 4 bara är en konstant.

Exempel 2

Beräkna derivatan av

a)

b)

I slutet på b-upgiften faktoriserar vi, alltså vi bryter ut faktorn e2x eftersom den fanns i båda talen. Det finns även ett specialfall här. Då täljaren är konstant lika med 1 så gäller detta:

Exempel 3

Beräkna derivatan av

Det första vi gör är att ta hänsyn till undantagsregeln som jag visade här ovan. Den gör så att vi får Derivatan av (tan x) i täljaren. Sedan skriver vi om tanx till sinx/cosx enligt en formel vi tidigare har lärt oss.

Vi låter nämnaren vara för ett tag för att koncentrera oss på uträkningen av derivatan av sinx/cosx. Då vi räknar ut den derivatan måste vi tänka på regeln för derivatan av en kvot. (Kvotregeln)

Efter deriveringen så ser vi att i övre täljaren får vi ett uttryck som ser ut som trig.ettan vilket gör att det blir lika med 1.

I nästa steg kan vi jämföra det vi ser med att dividera bråktal. Vi multiplicerar därmed täljare med nämnare, och vi får inte glömma att invertera, alltså vända på nämnaren. Efter detta så kan vi lätt förkorta bort cos2x.

Kvar får vi 1/sin2x .

Nedan visar jag samma uträkning fast jag hoppar över steget där vi räknar ut derivatan av tangens eftersom man lika gärna kan slå upp den i formelsamlingen.

Exempel 4

OBS!
Att derivatan av tan x=1/cos2x kan vara bra att lägga på minnet. Den finns även att slå upp i formelsamlingen.

©Copyright Matteguiden | KopieringsOskyddad
Elin Ericsson • Tobias Nyholm • Hannes Hagman • Joakim Carselind • Simon Janghede