Hittills har vi lärt oss att beräkna integraler
1. med hjälp av rektangelmetoden och
2. med hjälp av kända areor
Det finns dock två betydligt bättre, enklare och effektivare sätt att beräkna integraler, nämligen
1. med hjälp av primitiva funktioner och
2. med hjälp av en noggrannare numerisk metod än rektangelmetoden
Av dessa två kommer vi bara att lära oss den första.
Då vi skriver en primitiv funktion så kan vi säga att vi deriverar ett uttryck baklänges, vilket innebär att vi använder oss av deriveringsreglerna, fast åt andra hållet.
Detta innebär att:
Om vi har funktionen f(x) och gör om den till en primitiv funktion F(x) så ser vi att om man deriverar den primitiva så kommer vi tillbaka till den ursprungliga funktionen f(x).
C:et kommer av att det eventuellt fanns en konstant som blev bort-deriverad då man deriverade den primitiva funktionen och fick funktionen f(x). T.ex ska du derivera en femma så försvinner ju den.
Regeln säger alltså att då vi skriver en primitiv funktion så lägger vi till 1 istället för att dra bort 1 från x:ens exponenter (upphöjda tal). Samma siffra som man får fram efter att ha plussat på 1, ska vi även dela vårt tal med. Anledningen är att…
…då vi skriver om x till en primitiv funktion blir det ju x2 istället. Men om vi nu skulle derivera x2 så måste det ju bli samma som tidigare, alltså x. Men det blir det inte, deriverar vi x2 så får vi ju 2x. Däremot om vi lägger till en 2:a i nämnaren då vi skriver den primitiva funktionen så kommer den att ta ut 2:an i 2x när funktionen blir deriverad.
Bestäm de primitiva funktionerna F till funktionerna f.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
eller
a) För att vara extra tydlig så visar jag här att 2x är detsamma som 2x1, för att räkna måste vi ju veta vad x:et har för exponent (upphöjt tal) från början. Vi tar alltså och lägger till en etta till det upphöjda talet och får därmed 2x2. Enligt regeln som skapar primitiva funktioner så måste vi även ta det nya talet i exponenten, alltså 2:an, och skriva den som en nämnare under x:et. Vi delar alltså 2x2 med 2. Sedan får vi inte glömma bort att lägga till C, som motsvarar en eventuell konstant som i så fall hade försvunnit då den primitiva funktionen blev deriverad. Sådär 2:an i täljaren och 2:an i nämnaren tar ut varandra och kvar blir alltså vårt svar.
b) Här ser vi samma grej, vi vet att x:et är upphöjt till 1, så när vi gör om den x-termen till en primitiv så blir det x2 istället. Och då vi får en 2:a ovanför x:et ska vi även ha en under. Notera att det redan finns ett tal i nämnaren, även detta en 2:a. (Egentligen gjorde det det i det förra exemplet också, nämligen en 1:a, men det är ju som vanligt osynliga.) Om det redan finns ett tal i nämnaren så ska det multipliceras med det tal man tänkte placera där nere, vi gångar alltså 2 med 2 och får 4. Vi kan svara på 2 olika sätt här, men det betyder samma sak. Står x:et bredvid bråket som i alternativ 2 så betyder det att man multiplicerar x med bråket och gör man det: (1/4)*x så är det som att gånga 1:an med x:et så då får du ju fram alternativ 1. Jag vet att matteböckerna ofta skriver svaren som alternativ 2.
Nu fortsätter vi med de två resterande exemplen.
c)
d)
c) Först visar jag bara att det går att skriva minus tvåtredjedels x på två sätt. Vi använder det skrivsätt där x:et är inkluderad i täljaren då vi räknar ut den primitiva funktionen.
Då börjar vi med att lägga till 1 till 2:an som är upphöjd och får då 3. 3:an ska även skrivas i nämnaren där det i detta fall redan står en 3:a. Då multiplicerar vi de båda treorna med varandra. Sedan lägger vi till C för en eventuell konstant som kan ha stått där. Vi får alltså 2x3 däruppe och 9 i nämnaren. Glöm inte minustecknet som har hängt med hela tiden! Och sist C:et.
d) Här gör vi precis som tidigare 12x3 blir 12x4 och vi sätter en 4 under 12x4 också. 5:an får ett x och vi lägger till C sist. Vi kan ta bort 4:an i nämnaren genom att dela 12 med 4.
Hittills har vi ju bara skrivit en primitiv funktion så pass långt så att vi hela tiden har svarat med konstanten C. Om vi däremot ska bestämma en primitiv funktion och får veta ett villkor t.ex. att F(1)=0 så kan vi ju bestämma funktionen helt ut, alltså även ge C ett värde.
Bestäm den primitiva funktion F till f som uppfyller det givna villkoret:
a) och
b) och
a)
a) För att göra det lite enklare för oss så skriver vi om 1/x2 till x-2 enligt regeln
för alla värden på a förutom då a=0.
för alla värden på a förutom då a=0.
När vi gör x-2+2 till en primitiv funktion lägger vi som vanligt till 1 till exponenten som då går från -2 till -1 istället. Sedan delar vi även x:et med -1. Till 2:an som kommer sen lägger vi till ett x och sist skriver vi dit C:et. Då omvandlingen till en primitiv funktion är klar skriver vi om den så att x-1 får samma utseende som x-2 hade från början, samma regel som innan används här. x-1 blir alltså till 1/x och 1/x ska ju delas med -1, därav minustecknet som står framför.
För att skriva få fram den primitiva funktion som uppfyller villkoret F=4 då x=2 så skriver vi upp vår primitiva funktion och ersätter x:en med två samt att vi sätter funktionen lika med 4. Sedan är det bara att lösa ut C:et och vips har vi vår efterfrågade primitiva funktion!
b)
b) Okej, vi börjar likadant som i a-uppgiften. Vi skriver om kvadratroten ur x till x0.5 enligt regeln √a=a0.5 och så skriver vi om 1/x2 till x-2 enligt regeln som nämndes i a-uppgiften. Därefter kan vi börja omvandla. Lägg till 1 på x0.5 och dela det x:et med 1.5, lägg till 1 på x-2 och dela det x:et med -1 och skriv C:et sist. För att det ska se lite snyggare ut så skriver vi om x1.5 till x√x, alltså (x1*x0.5). Vi skriver även om x-1 till 1/x och får minustecknet då det skulle delas med -1. Eftersom det redan står ett minustecken innan så blir det plus stället.
Sedan sätter vi upp funktionen efter våra villkor, x:en ska bytas ut mot 1:or och funktionen ska vara lika med 0. Efter att ha löst ut C till minus fem tredjedelar så skriver vi upp den igen. Jag har snyggat till den lite för att visa hur oftast facit i matteböckerna svarar, men första alternativet där vi har 1.5 i nämnaren är 100% korrekt sätt att svara på.
Funktion De primitiva funktionerna
©Copyright Matteguiden | KopieringsOskyddad
Elin Ericsson • Tobias Nyholm • Hannes Hagman • Joakim Carselind • Simon Janghede