Matteguiden.se - Matte D
Trigonometriska funktioner


Godtyckliga vinklar

Godtyckliga vinklar

Jag introducerade er i ett tidigare avsnitt för enhetscirkeln, en cirkel som vi ritade upp i ett koordinatsystem där medelpunkten är origo och radien är 1 längdenhet. Där kan vi vrida visaren, som alltid utgår från läget då den ligger längs med x-axeln, antingen moturs eller medurs. Den kan vridas ett eller flera varv innan den stannar. Om vi gör en vridning moturs så säger vi att vridningen sker i positivt led, och om vi gör den medurs, negativt led. Om den positiva vridningen är mer än ett varv så blir mätetalet större än och samma sak gäller för negativa vridningsvinklar där mätetalen alltid är negativa.

Sinus och cosinus

Innan förklarade jag hur vi definierade sinus och cosinus i intervallet 0° till 180°.Nu ska vi inte begränsa oss mer utan nu ska vi se till så att definitionerna av sinus och cosinus gäller för alla vinklar. Varje vinkel har varsin x- och y-koordinat för visarens ändpunkt. Dessa definitioner gäller för alla vinklar.

är y-koordinaten i enhetscirkeln
är x-koordinaten i enhetscirkeln

Tangens


Detta samband här ovanför gäller för en rätvinklig triangel med en spetsig vinkel v och en hypotenusa med längden 1 le (längdenhet).















Sambandet ger oss följande definition av tan v som gäller för alla vinklar då .



Period

Då man säger att sinusfunktionen och cosinusfunktionen är periodiska med perioden 360 grader, så menar man att alla vinklar har samma x- och y-koordinat i enhetscirkeln. n symboliserar antalet varv man snurrar visaren från utgångsläget v. Eftersom 360 grader är ett helt varv så hamnar vi på samma ställe som innan och därför får vi samma koordinater oavsett om vinkeln är en multipel av 360, alltså , och och så vidare är alla lika.
Det kan vi sammanfatta till:

för
för


Perioden för tangens däremot är 180 grader




©Copyright Matteguiden | KopieringsOskyddad
Elin Ericsson • Tobias Nyholm • Hannes Hagman • Joakim Carselind • Simon Janghede