En halv är, tänk nu hur främmande, två tredjedelar av tre fjärdedelar.

-Piet Hein

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte D - Trigonometriska funktioner


Trigonometriska funktioner 2

Eftersom detta avsnitt är väldigt långt så har jag delat upp det i två delar för att minska laddningstiden av sidan.

Kurvorna y = Asin kx och y = Acos kx

Nu har vi kommit fram till en ny typ av kurva. Ser ni att det har smugit in sig ett litet k framför x:et? k:et är också en konstant som har den funktionen att den drar ut respektive drar ihop kurvan på längden. Det innebär att den påverkar perioden, som hittills alltid har varit 360°, men som nu även kan bli 180°, 720° osv. Den påverkar också förflyttningen i sidled på ett vis, mer om detta finner du i exemplet nedan (uppgift c).

Denna regel gäller för k:

Om k är en positiv konstant har funktionen
och perioden


Vi tar ett exempel för att göra det hela mer lättförståeligt.
Exempel 1

Rita kurvan och ange dess period. Notera! Den sista uppgiften är den viktigaste!
a) b) c)


Lösning till a)
Vi börjar som vanligt med att rita upp en värdetabell

 

 

 

 

Längst till vänster skriver vi in vad sinus får för värde då 4x är lika med 0°, 90°, 180°, 270° och 360°. x:et räknar vi ut genom att helt enkelt dela de olika gradantalen med 4. 4x=90° –> x=90°/4 =22,5°.
Rita sedan upp kurvan.

 

 

 

 

 

 

Notera att jag har prickat det intervall vi ritar upp från värdetabellen. Därefter har jag valt att visa ett större intervall för att ni ska få en lite bättre uppfattning om hur kurvan ser ut. Om ni vill så kan ni ju rita ut er kurva i ett större intervall genom att fortsätta skriva 4x=390° osv.

Perioden kan i vissa fall räknas ut genom att bara titta på en kurva. Som jag sa tidigare så kollar man då avståndet från den ena toppen/dalen till nästa topp/dal. I detta fall är det lite svårare att se, men som tur var så har vi ju formeln vi nyss tittade på.
Svar
Vi får fram perioden genom att dela 360° med värdet på k. Värdet på k är i detta fall 4 vilket ger oss perioden

Lösning till b)
Som i föregående uppgift ritar vi upp en värdetabell

 

 

 

 

X-värden får vi fram genom att multiplicera varje gradantal med 2.
(x/2=90° –>x=90°*2=180°)
Svar
Rita upp kurvan och perioden räknar vi ut med den tidigare nämnda formeln och vi får perioden

 

 

 

 

 

 

Lösning till c)
Här kommer det viktigaste exemplet, så var uppmärksam på lösningsmetoden. Jag kallar det viktigt för att här blandar vi in alla de moment vi hittills har lärt oss. Med detta exempel vill jag även visa hur man lätt kan bli lurad av att man har k multiplicerat med x.

Nedan har jag gjort upp 2 olika värdetabeller för att vara lite extra tydlig. Den nedre tabellen gör så att man lättare ser att man har gjort rätt:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Som ni ser i kurvan här ovan så har jag även ritat in kurvan y=cos2x för att vi lättare ska se förskjutningen i sidled. Nu när vi tittar på kurvan så kanske vissa undrar varför den bara är förskjuten 15 grader åt vänster istället för 30 grader. Det beror på att x:et är multiplicerat med k som i detta fall är lika med 2. När vi ska räkna ut vad x är så måste vi ju bl a dela med två och därmed delas även +30° med 2 vilket ger 15°. Detta syns tydligare i värdetabell nr 2. Då har vi rett ut även denna typ av kurvor.

Kurvor av typen y =A sin (kx + v) + B

Då var det bara en sista konstant kvar att lägga till till vår kurva, nämligen konstanten B. Denna konstant har som funktion att den flyttar kurvan i höjdled. Hittills har alltid x-axeln varit linjen som gått genom kurvans mitt/centrum, men det finns andra utseenden också. Värdet på B anger var på y-axeln som kurvans centrum hamnar. Till exempel B = 1 ger att mitten på kurvan hamnar vid 1 på y-axeln. På alla andra genomgångar har det varit x-axeln och det beror på att värdet på B var satt till 0 och x-axeln befinner sig just där y=0.

Om vi tittar på funktionen y= sin x + 2 (notera att det betyder (sin x)+2 och INTE sin (x+2)).

 

 

 

 

 

 

Här ser vi att kurvans mitt hamnar på y-värdet 2, vi drar en fejklinje för att markera mitten. Svårare än så blir det inte, nu tar vi två exempel på allt vi har lärt oss:

Exempel 2

Rita kurvan och bestäm dess period samt största och minsta värde.


Lösning
Lika tjatig som jag var med enhetscirkeln är jag med värdetabellen för att, som med enhetscirkeln, påpeka dess betydelse.

 

 

 

 

När vi sedan ritar upp kurvan använder vi värdena från den fetmarkerade funktionen eftersom den innehåller alla de siffror som påverkar y-värdet. Vi räknar som vanligt ut cos0°, multiplicerar med 0,5 (A, amplituden) och sedan adderar vi det med 2 eftersom det är värdet på B.
x räknar vi ut genom att dela alla gradtalen med 3.

 

 

 

 

 

 

Vi ser i kurvan, men också i ekvationen att största och minsta värde är 2,5 respektive 1,5. Perioden får vi då vi delar 360° med k som i detta fall är lika med 3.
Svar
Perioden är
Då man, i detta fall, tydligt ser att första toppen är på 0° och nästa vid 120° så kan vi även beräkna perioden grafiskt genom att avläsa ur grafen att 120°-0°=120°


Exempel 3

Bestäm ekvationen för kruvan på formen


Lösning

 

 

 

 

 

 

Vi börjar med att bestämma amplituden A som vi kan avläsa från grafen ovan. Vi ser att det största värdet är 2 och det minsta är -1. Detta ger oss att

Sedan kan vi räkna ut k:et genom att kolla perioden för kurvan. Vi ser att avståndet från en topp till nästa är 180°, därmed är k =2 enligt

Vi väntar med att bestämma v eftersom det underlättar att först bestämma var mittlinjen är, alltså värdet på B. Går man 3 steg uppifrån in mot mitten och tre steg nerifrån in mot mitten möts man vid punkten 0,5 på y-axeln. Värdet på B är alltså 0,5.

Hade vår kurva inte varit förflyttad i sidled (grön kurva) så hade den skurit y-axeln där y=0,5, men kollar vi i punkten där y=0,5 ser vi att den istället 30° till vänster om y-axeln. Nu får vi inte glömma bort att värdet på k var 2 och då måste vi multiplicera 30° med 2. Värdet på v blir således +60°.
Svar

Sammanfattning

Jag vet att detta blev ett förbaskat långt avsnitt så därför har jag gjort en sammanfattande bild för er som vill bara kanske vill fräscha upp minnet eller behöver en kom-ihåg-lapp

A är amplituden, drar ut kurvan på höjden (längs med y-axeln)
k periodicitet, drar ut kurvan på längden (längs med x-axeln)
x är en variabel
v förskjuter kurvan i sidled, flyttar den åt höger eller vänster (längs med x-axeln)
B förskjuter kurvan i höjdled, talet B bestämmer var kurvans mittpunkt hamnar på y-axeln




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Josse
    20 mars 2011 @ 14:50

    TACK för en superbra sida! Min bok är väldigt dålig på att förklara! Utan er skulle det inte ha gått! Tusen tack :-)

  2. Serlena
    16 maj 2011 @ 19:25

    angående exempel tre skrev du att B=0,5 vilket lät vettigt men sen i formeln skrev du att B var +2, hur fick du fram det eller är det bara felskrivet?

    grym hemsida förresten! :)

  3. Sahand
    18 maj 2011 @ 19:06

    I första uppgiften b) ska det väl stå sin x/2 för att den angivna lösningen ska bli rätt. Nu står det nämligen sin 2/x.