Jag har aldrig träffat någon matematiker som har varit kapabel till att tänka förnuftigt.

-Sokrates

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte Diskret - De hela talen


Positionssystemet

Basen 10

Redan i Matte A har vi lärt oss att vårt talsystem är ett positionssystem dvs. varje siffra har ett visst värde genom sin position, var den är placerad i talet. T.ex. i talet 1749 så är ettan en tusentalssiffra, sjuan en hundratalssiffra, fyran en tiotalssiffra och nian en entalssiffra. Repetition från Matte A >>

Skulle vi kasta om siffrorna i talet 1749 till t.ex. 4791 så inser vi ganska snabbt att positionen för siffrorna i ett tal är viktigt eftersom omkastningen ger ett helt nytt tal.

Vårt talsystem bygger på det decimala systemet. Det decimala systemet innebär att vi har 10 olika siffror, nämligen; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Det innebär också att basen i talsystemet är tio dvs. om ett tal multipliceras med 10 så flyttas alla siffror i detta tal ett steg åt vänster, de byter position.

T.ex. där ettan går från tusental till tiotusental, sjuan går från hundratal till tusental osv.

Att skriva ett tal i utvecklad form innebär att man förtydligar talets position. I talet 1749 visar man alltså talen position genom att skriva ut *tusen, *hundra osv:

Det mest tydliga sättet att visa att vårt talsystem bygger på basen tio är när vi använder tiopotenser. Skulle vi skriva 1749 med tiopotenser skulle det bli:

Tänk på att exponenten (det upphöjda talet) i tiopotensen alltid är 1 mindre än siffrans position i talet! Nian har plats 1 (100), fyran plats 2 (101) osv.

Exempel 1

Skriv på utvecklad form
a) 4952    b) -88753


a)
I talet 4952 har talet 2 entalsplatsen (plats 1), talet 5 har tiotalsplatsen (plats 2), talet 9 hundratalsplatsen (plats 3) och talet 4 tusentalsplatsen (plats 4). Detta kan vi visa genom att skriva ut osv.

eller
där
osv. eller om man vill tänka att fyran har den fjärde platsen och därför ska tian vara upphöjd till 3 (4-1), nian har platsen 3 och dess tia blir då upphöjd till 2 (3-1).

b)
I talet -88753 fungerar allt på samma sätt som i a-uppgiften, förutom det faktum att vi också har en siffra på plats 5 alltså den första åttan sitter på tiotusentalsplatsen. Minustecknet sätter vi framför parentesen som vi omsluter hela det utvecklade talet med.

eller

Andra baser

Men hur fungerar det om vi väljer en annan bas än tio i talsystemet? Talsystemet som använder åtta som bas kallas det oktala talsystemet. I det oktala talsystemet ingår 8 siffror nämligen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 och 7.
För att visa vilket talsystem ett tal är skrivet med skriver man:

där talet 144 är skrivet med det decimala systemet.
där talet 673 är skrivet med det oktala systemet.

Talet bör utläsas: ”sex, sju, tre bas åtta” och inte sexhundrasjuttiotre eftersom det är benämningen vi använder i det decimala systemet.
Om vi vill veta vad är för ett tal på ”vårt språk”, alltså med basen 10, så kan vi räkna ut detta ganska enkelt.
Vi sa ju att man kan skriva våra tal i utvecklad form med tiopotenser eftersom vi har basen tio:

På samma sätt kan vi utveckla men istället för tiopotenser så använder vi ”åtta-potenser” då åtta var basen i det oktala systemet.

Vi utvecklar talet och beräknar det sedan; 82 blir 64 och 64 gånger 6 blir 384 osv. Slutligen ser vi att talet är talet 443 i det decimala systemet.

Exempel 2

Skriv följande tal i det decimala systemet
a)       b)       c)


a)

Eftersom talet är skrivet med det oktala systemet så använder vi åttapotenserna för att utveckla talet två, tre bas åtta. Tvåan har ”plats” 2 och därför ska åttan som vi multiplicerar den med vara upphöjd till 1, alltså 1 mindre än siffrans platsnummer. Trean har plats 1, alltså ska exponenten i dennes åttapotens vara 0. 2 gånger 8 blir 16 och 3 gånger 1 blir 3. Lägg ihop dessa och vips så har vi talet 19 i det decimala systemet, vilket vi märker ut med att skriva det nedsänkta ordet ”tio”.

b)

Här gör vi likadant som i a-uppgiften. Talet är skrivet med det oktala systemet, alltså använder vi åttapotenserna igen. Sjuan har plats 3 alltså är dess åttapotens upphöjd till 2 osv.

c)

Upprepa samma metod som i a- och b-uppgifterna.

Svar: a)       b)       c)




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Anna Howard
    29 januari 2013 @ 19:46

    Hur kan 9320(åtta) finnas? Ett tal med basen åtta ska väl inte kunna ha ett nummer högre än 8 på någon position?

  2. Colin Howard
    30 januari 2013 @ 6:42

    Have you taken the "Time Dilation Effect" into consideration? Even Einstein's theory of special relativity (curved space) could apply and it simply "bent" round the 7 & 8 to become nine :) . Clearly, somebody told them about the different number bases but they failed to fully comprehend it themselves.