Matteguiden.se - Matte E
Derivator och integraler


Volymberäkningar

Volymen av rotationskroppar – Rotation kring x-axeln

Formeln för hur vi räknar ut volymen av rotationskroppar som roterar kring x-axeln ser ut så här:

Exempel 1

Kurvan begränsar tillsammans med koordinataxlarna ett område. Beräkna volymen av den rotationskropp som alstras när området roterar kring x-axeln.


Det är bra att alltid rita upp kurvan på miniräknaren så man vet vilket område det handlar om. Här ser vi att den ena gränsen är x=0 eftersom y-axeln begränsade området. Den andra gränsen är där kurvan har sin minimipunkt eftersom den går ihop med x-axeln där. Då får vi ta fram den punkten med hjälp av derivatan.

Området det gäller ligger i intervallet
Minustecknet framför V sätter vi för att inte få en negativ volym då området ifråga är på den negativa sidan av x-axeln.


Svar: Volymen är 20,1v.e.

Rotation kring y-axeln

Då vi ska räkna ut rotationsvolymen av y-axeln så använder vi oss av samma formel som för rotationsvolymen för x-axeln, MEN, först måste vi göra om uttrycket så att x är en funktion av y. (I normala fall så är y en funktion av x.) Notera att integralen avslutas med dy.

Exempel 2

Klotets volym

Efter en liten krånglig härledning så kan man komma fram till att snittarean är:

Vi använder uttrycket:
då vi ska beräkna ett klotsegments volym.

Klotets volym är

Exempel 3

Ett klotsegments har klotradien 1,0m och höjden 0,6m. Beräkna segmentets volym.


Då vi har ritat upp en bild av det hela är det mycket enklare att förstå. Vi ser att det har bildats en rätvinklig triangel, vars bas måste vara 0,4 då (radien 1)-(höjden 0,6) = 0,4. Punkten x är därför lika med 0,4.
Klotsegmentet kan ses som en rotationsvolym i intervallet

Svar: Volymen är 0,90m3.

©Copyright Matteguiden | KopieringsOskyddad
Elin Ericsson • Tobias Nyholm • Hannes Hagman • Joakim Carselind • Simon Janghede