Matteguiden.se - Matte E
Komplexa tal


Ekvationer del 1

Andragradsekvationer

Dessa andragradsekvationer löser vi på samma sätt som vanliga andragradare. Det som jag vill visa är hur man går tillväga då vi tar roten ur ett negativt tal.

Exempel 1

a) svaret på roten ur –(9/4) blir plus/minus(3/2)i eller 3i/2, vilket sätt ni nu föredrar att skriva det på.

Om vi tar och kvadrerar 3i/2 ser det ut såhär:

i2 är ju alltid lika med -1.
Plus/minus-tecknet motiveras av att oavsett om talet är negativt eller positivt så kommer det att bli positivt då vi kvadrerar det: plus*plus=plus och minus*minus=plus. Sedan blir det förstås negativt i slutändan pga att vi multiplicerar i med i.

b) Här får vi fram en formel som ser likadan ut som en andragradsekvation som går att lösa med hjälp av pq-formeln. Vi får samma rot som i a-uppgiften.


Polynomdivision

Detta avsnitt finns som videoundervisning.

Då man ska beräkna division av olika polynom så använder man sig av en metod som kallas “liggande stolen”. Begreppet kan vara bekant för en del, andra har istället lärt sig trappan som bygger på samma sak bara att linjerna ser ut att forma trappsteg istället. Låt oss säga att vi ska beräkna divisionen . Uppställningen kommer då att se ut som följande:

polynomdivision1

Förhoppningsvis kan ni urskilja den liggande stolen då linjerna ser ut att bilda en stol som tippat framåt. Innan vi sätter igång att räkna så går vi igenom de olika delarna i uppställningen av divisionen. Täljaren står till vänster (röd) och nämnaren till höger (blå).

polynomdivision2

Som ni kanske ser så har jag också lämnat lite extra utrymme till vänster om varje term. Det är för att jag måste lämna plats för ev. siffror som kommer upp med tidens gång och som ska sättas framför termerna. Det ljusgråa pluset framför z3 är bara för att vi ska komma ihåg att z3 är positivt.

polynomdivision3

Mellan z3 och z har jag ett extra stort utrymme. Det är för att lämna plats åt en ev. z2-term som kan komma fram senare i divisionen. När du skriver, tänk på att alla z3-termer ska stå i samma kolumn, alla z2 i samma osv. till alla konstanter i samma.

polynomdivision4

Nu när vi har lite koll på uppställningen kan vi börja divisionen.
Vi börjar med z i nämnaren, hur många gånger går den i z3? Jo, z2 gånger (z2·z). Svaret z2 skriver vi ovanför ”stolsryggen”. Notera att jag skriver z2 i kolumnen för andragradare.

polynomdivision5
polynomdivision6

Nu ska vi kolla om det blir någon rest med svaret z2 (t.ex. 10/3 blir ju 3 men eftersom 3*3=9 så blir det rest 1). Vi multiplicerar z2 med z i nämnaren. Det z2·z = z3 vilket vi skriver under täljaren i rätt kolumn. Därtill sätter vi också ett plustecken framför för att komma ihåg att talet är positivt.

polynomdivision7

Sedan gångar vi också z2 med -2 i nämnaren, och det blir -2z2. Detta skriver vi in z2-kolumnen.

polynomdivision8

Eventuella rester avslöjas nu genom att vi tar talen i täljaren minus (+z3-2z2). Då parentesen försvinner så byter termerna +z3 och -2z2 tecken och vi kan utföra subtraktionen.

polynomdivision9       polynomdivision10

Sådär, nu flyttar vi ner resten av täljaren i höjd med 2z2 för att kunna fortsätta divisionen.

polynomdivision11

Fortsätt genom att upprepa det vi gjorde första gången. Hur många gånger går z i 2z2, dvs. vilket tal behöver multipliceras med z för att få 2z2? Jo, 2z, vilket vi skriver högst upp i z1-kolumnen.

polynomdivision12

Sedan upprepar vi steget där vi kollar om det blir någon rest av divisionen. Multiplicera alltså 2z med z och därefter 2z med -2. Vi får +2z2 respektive -4z.

polynomdivision13      polynomdivision14

Sätt därefter en parentes runt och ett minustecken framför parentesen. När parentesen tas bort byter termerna tecken.

polynomdivision15      polynomdivision16

Flytta ner 10:an för att göra den sista divisionen. Hur många gånger går z i +5z? Jo, 5 gånger, skriv svaret ovanför stolsryggen i kolumnen för konstanter.

polynomdivision17

Sedan ska vi återigen se om det blir någon rest. Vi multiplicerar svaret +5 med z i nämnaren och…

polynomdivision18

…sedan +5 med -2 i nämnaren.

polynomdivision19

Sätt därefter en parentes med ett minustecken framför runt +5-10.

polynomdivision20

När parentesen tas bort byter termerna tecken och vi kan beräkna resten:

polynomdivision21

Vi ser här ovan att svaret på divisionen blir med rest 20.

Svar: rest 20.

©Copyright Matteguiden | KopieringsOskyddad
Elin Ericsson • Tobias Nyholm • Hannes Hagman • Joakim Carselind • Simon Janghede