Det högsta graden av ren tanke tänks i matematik.

-Platon

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte E - Komplexa tal


Ekvationer del 2

Faktorsatsen

Med hjälp av faktorsatsen så kan man dela upp polynom som z2-4z-5 i faktorer på ett ganska enkelt sätt. Det man gör först är att lösa ut z genom att sätta polynomet/funktionen till lika med 0.



Utan någon krånglig härledning så har jag konstaterat att faktorsatsen fungerar på följande vis:

Efter att ha sett hur faktorsatsen fungerar tillämpar vi nu den på vårt tal. Vi fick svaren att z var lika med -1 och 5. Då kan vi bilda dessa faktorer:

och

Som då blir svaret på uppgiften, att vi skulle dela upp polynomet z2-4z-5 i faktorer. För att vara säker på att man har gjort rätt kan man alltid kontrollräkna baklänges och helt enkelt multiplicera ihop de båda faktorerna som då borde bilda polynomet vi hade från början.


Det verkar ju stämma :D

Låt oss ta ytterligare ett exempel.

Exempel 1

Dela upp polynomet i faktorer.


Gå tillväga på samma sätt här, lös andragradsekvationen. Glöm inte att du måste bli av med 16 framför z2!


Eftersom det var en andragradsekvation så hade vi ju faktiskt förväntat oss att få två svar, men det kan även vara så att ibland dyker det upp så kallade dubbelrötter. Då vi använder faktorsatsen får vi bara fram faktorn:

…men däremot så finns denna faktor i två upplagor, alltså då vi tar den upphöjt till 2 så får vi fram vår andragradsekvation som vi skapade för att kunna lösa ut z. Den enda lösningen till en andragradsekvation kallas därmed för dubbelrot.

Hur gör vi då för att få fram faktorn som bildar den ursprungliga ekvationen 16z2+8z+1? Jo vi multiplicerar helt enkelt vår redan framställda faktor med det tal som står framför z2, 16.

Se talet 16 som om det också vore kvadrerat precis som vår parentes är kvadrerad. Om vi skriver ut kvadreringen på både 16 och parentesen får vi fram att den består av två fyror samt två parenteser, alla multiplicerade med varandra. Multiplicera in 4:an i parentsen så får du kvar två parenteser som ser likadana ut och ska multipliceras med varandra, vilket ger oss vår nya faktor som är kvadrerad.
Då var det klart!

Högregradsekvationer

Vi har sedan en lång tid tillbaka nu kunnat lösa ekvationer av både första graden och andra graden, alltså ekvationer innehållande x eller x2. Då det kommer till att lösa ekvationer med högre grader såsom x3 eller x4, räcker dock inte riktigt människan till (med undantag från vissa lätta, t.ex. z3=27 osv). För att kunna lösa dessa behöver vi oftast en eller flera redan kända lösningar. Graden på en ekvation anger ju nämligen hur många lösningar den har. En tredjegradare har alltså tre lösningar. För att vi ska kunna lösa en tredjegradare behöver vi veta en utav de tre lösningar som den har för att kunna lösa hela ekvationen.

Exempel 2

Säg att vi ska lösa ekvationen z3-4z-15=0 och vi får reda på att en utav lösningarna är 3, alltså z=3.


För att lösa denna ekvation behöver vi nu nyttja våra kunskaper i både polynomdivision och att använda faktorsatsen. Eftersom ekvationen är en tredjegradare så har den tre lösningar och kan därmed delas upp i tre faktorer. En faktor kan vi redan bilda tack vare den angivna lösningen z=3. Vi har faktorn (z-3).
Om vi tar och delar polynomet z3-4z-15 med (z-3) kommer vi att få fram den andragradare som bildas av de två resterande faktorerna. En andragradssekvation är ju en baggis att lösa och därmed kommer vi lätt kunna räkna ut de två resterande lösningarna.

Börja alltså med polynomdivisionen, jag tänker inte demonstrera den här, utan jag hänvisar till exemplet under kapitlet om polynomdivision. Svaret kommer i alla fall att bli:

Sätt ekvationen till lika med 0 och lös den sedan på vanligt vis.





Här ovan ser vi nu att vi har fått fram samtliga tre lösningar, hade vi dock inte vetat från början att z=3 så hade vi inte kunnat lösa den.

För er som inte förstod det så va det imaginära i:et :)




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Kung
    18 oktober 2011 @ 19:42

    “Här ovan ser vi nu att vi har fått fram samtliga tre lösningar, hade vi dock inte vetat från början att z=3 så hade vi inte kunnat lösa den.”

    Lösa den hade vi alltid kunnat, men det hade krävts lite mer jobb. Hade man flyttat över (-15) till andra sidan hade man fått z^3-4z=15. bryter man då ut z får man z(z^2-4)=15.
    z * (z^2-4)ska alltså bygga upp talet 15, då måste z vara +-1, +-3 eller +-15. Sen får man testa :)

  2. Milla Esko
    16 maj 2013 @ 10:51

    Varför blir -(11/4) aplötsligt (11/2)?