Matteguiden.se - Matte E
Komplexa tal


Polär form

Argument

Visaren i ett komplext talplan är bestämd till längd och riktning. Längden får vi fram genom att räkna ut absolutbeloppet av z. För att räkna ut visarens riktning så behöver vi veta vinkeln mellan visaren och den positiva reella axeln. Vinkeln kallar vi (uttalas fi) och vi mäter den i antingen grader eller radianer. Vinkeln kallas argumentet för z och vi skriver arg z =

Exempel 1

Beräkna i grader.


Måla upp z i ett komplext talplan för att se dess position.
Vi använder oss utav trigonometri för att lösa ut vinkeln Vi ser att det går att bilda en rätvinklig triangel med hjälp av de koordinater vi fått. Vi har alltså måtten för motstående och närliggande katet, vilket innebär att vi ska använda oss av tangens:

Många av er känner nog igen “arctan” som “tan-1“. De står för precis samma sak. Arcsin, arccos och arctan är samma som respektive sin-1 osv. Dock är det ansett ett fult och icke matematiskt korrekt skrivsätt. Arc är det korrekta. :)

Polär form

Då vi ska skriva talet z i polär form använder vi oss utav denna formel:

där motsvarar punkten P:s koordinater i enhetscirkeln och r är längden på visaren för talet z.

Exempel 2

Skriv talet i polär form.


Absolutbeloppet:

Argumentet:

Svar:

Multiplikation och division

Då vi ska multiplicera eller dividera komplexa tal så är det ibland lättare att ha dessa tal i polär form istället för formen x + yi.
Då använder vi dessa räkneregler:

För produkten av två komplexa tal z1 och z2 gäller:
-Absolutbeloppen multipliceras:

-Argumenten adderas:

För kvoten av två komplexa tal z1 och z2 gäller:
-Absolutbeloppen divideras:
-Argumenten subtraheras:

Potensform

Detta är ännu ett sätt att skriva om z, och skrivsättet kallas potensformen för z.

De Moivres formel

de Moivres formel:
eller

gäller för alla heltalsvärden på n.

©Copyright Matteguiden | KopieringsOskyddad
Elin Ericsson • Tobias Nyholm • Hannes Hagman • Joakim Carselind • Simon Janghede