Gud har skapat de naturliga talen. Resten är människans verk.

-Leopold Kronecker

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte F - Derivator


Derivering av Arc-funktionerna

Precis som vi konstaterar i vår policy så ska vi också utelämna härledningar och bevis här för att de ur ett pedagogisk perspektiv sällan hjälper. Men om någon vill så kan vi slänga in härledningen för hur man deriverar fram formeln för arcsin till exempel.

Viktigt att nämna innan vi börjar är att i många matteböcker och miniräknare så står det eller , vilka i själva verket ska vara arcsin respektive arctan. Samma sak for cossinus. Det matematiskt korrekta är arc-funktionerna. Det kommer ni också märka sen när ni kommer till universitetet, för de är de enda beteckningarna man använder. Att använda “upphöjt till minus ett” beskrev min mattelärare faktiskt för matte-porr. Förklaringen var att: Förfular man något vackert så kan det beskrivas som porr :) (Detta tyckte vi elever var mycket (galet) humor.)

Men nu! Riktiga exempel!

För arcsin:


För arctan:


Av någon anledning så används sällan arccos, men skriver ändå ner formeln här för att göra det komplett!


Dessa är mycket bra att kunna utantill, inte nog med att det går snabbare på prov och lektioner – dessutom hjälper det för att få förståelse! :)


Vi visar ett par enkla exempel:
Exempel 1

Beräkna derivatan för .


I detta läge så är det pretty much bara att stoppa in det som är givet i formeln. Men viktigt här (och alltid överallt när man deriverar) att inte glömma inre derivatan! Det tåls att nämna ofta. Tänk på att det som ska in i täljaren är den inre derivatan, och det som ska in i nämnaren blir i kvadrat.

Den inre derivatan av 4x är ju 4, vilket var det som vi multiplicerade hela uttrycket med – för att sedan lägga in den på täljaren, precis som man gör vid multiplikation med bråk.


Ett lite svårare exempel:
Exempel 2

Beräkna derivatan av .


Kom ihåg att allt som står i arctan-uttrycket här ska ersätta x i originalformeln.



Sifferbehandling är kul! ;)


Vi fortsätter med att visa exempel, nu derivatan av arcsin:
Exempel 3

Derivera .


Då kör vi helt enkelt på! Eftersom arcsin-uttrycket inte har några tal i sig, så är det bara att använda formeln rakt på. Ett tränat öga ser att till höger om plus-tecknet så har vi en produktderivata!

Nu är det bara till att förenkla:


Denna sista förenkling som kommer nu är riktigt finurlig:

Svar:
Vi kan förklara den förenklingen. Tänk dig att det istället hade varit 2 eller något, istället för .
Då hade vi istället haft: , och det blir självklart .
Vi skriver om det:
Vi har vilket är precis samma sak som: .
Det är ingen självklar förenkling som man bara “ser” om man har , men den är galet effektiv om man har tränat lite!




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Nadja Gyllenör
    26 mars 2014 @ 13:14

    Your är väldigt,väldigt tacksam för det förklaring

  2. Axel Jarenfors
    22 september 2014 @ 8:03

    I exempel 3 är det första förenklingssteget mycket förvirrande. Den andra termen saknar en faktor 0.5 jämfört med den andra termen i raden ovan, och i den tredje termen har roten på ett oförklarligt sätt rört sig från täljaren till nämnaren.
    Märkligt nog lyckas slutsvaret ändå bli det rätta, men härledningen känns inte alls instruktiv.