Matteguiden.se - Matte F
Derivator

Implicit Derivering

Nu kommer vi till en knepig del. Knepigt för att det är ett helt annat sätt att tänka. Det handlar i det stora om att man deriverar “båda sidorna av lika-med-tecknet”, och absolut inte glömmer den inre derivatan!
Det finns ingen “formel” man använder så vi får helt enkelt visa hur man gör.

Exempel 1

Här tänkte vi visa hur man löser ett tal först traditionellt, följt av samma tal fast med Implicit derivering.
Bestäm derivatan för .

Traditionellt:

.

Implicit:
Det absolut viktigaste att komma ihåg är att y inte längre är något “odödligt super-tecken” som aldrig ändras. y är en funktion som också ska deriveras, men eftersom den är en funktion så har den också en inre derivata. Tänk dig att y ser ut så här , vill du derivera detta så får man inte för allt i världen inte glömma den inre derivatan 10x+2 – eller hur? Metoden är användbar och häftig, och måste ibland användas för att få svaret. Vem har inte någon gång funderat på vad derivatan för är? Det kan lösas med denna metod! Vi visar faktiskt ett exempel på detta längre ner på sidan.
Dåså, då löser vi talet. Följande var givet.

Kvadrerar båda led:

Sen kommer själva deriveringssteget. Märk att vi deriverar i båda led, men eftersom vi inte vet vad y är så måste vi behålla termen och skriva in derivatan av y som en egen faktor (y’), annars kan viktig information gå förlorad. Derivatan av x blir 1, som alla vet ;)

Vi kastar över allt som inte hör till y’ till höger led:

y visste vi vad det var från början, , eller hur?

Så nu har vi gått igenom tre olika lösningsmetoder, men egentligen är de rätt lika. Vi löser samma tal med alla metoder i följande exempel:

Exempel 2

Derivera med följande olika lösningsmetoder:
a.) Traditionellt.
b.) Kvotderivata.
c.) Produktderivata.
d.) Implicit Derivering.

a.)

b.)

c.)

d.) (I deriveringssteget används produktderivata i den implicita deriveringen)

Deriveringssteget:

Omställning så vi får y’ självt:

Enkelt!

Nu när vi har bra flyt så kan vi visa implicit derivering av x^x. (Alltså derivatan av x upphöjt till x.)

Exempel 3

Derivera , ett tips: Använd Implicit Derivering.

Så vi sätter en ny variabel y = x^x så vi får en ekvation, och inte ett uttryck.

Med hjälp av potensreglerna så sätter vi in ln i båda led:

Fler potensregler ger:

Implicita deriveringssteget, glöm ej inre derivator. I vänster led derivering av ln, i höger led produktderivering:

y’ är här den inre derivatan av ln y, såklart.
Och så ser vi till så att vi får y’ självt i ett av leden:

Och y visste vi ju från rad 1 i talet var x^x.

Och så är vi redan klara! Enkelt!
Svar: Derivatan av är

Ett annat bra exempel på implicit derivering är derivatan av y = ln x. Det är inte många som kan den, men den är verkligen urenkel om man kan den här deriveringsmetoden! Vi menar, alla vet ju att derivatan av ln x = 1/x. Men hur många vet hur man deriverar ln x? Vi visar det här i ett exempel. Själva anser vi att det är mycket snitsigt!

Exempel 4

Derivera:

Vi börjar med att göra e upphöjt till båda uttrycken på båda sidor:

Eftersom tar ut varandra och blir 1 så får vi:

Nu kan vi derivera i båda led. (Implicit derivering).


Kollar vi några rader uppåt så ser vi vad är:

Easy as pie!

©Copyright Matteguiden | KopieringsOskyddad
Elin Ericsson • Tobias Nyholm • Hannes Hagman • Joakim Carselind • Simon Janghede