Exempel 2
Bestäm den lösning till för vilken y(0)=0 och y’(0)=1.
Den allmänna lösningen är
Då vi vet dessa villkor så kan vi räkna ut de två konstanterna C1 och C2:
Svar:
Lös differentialekvationen
Detta är den enklaste inhomogena differentialekvationen av andra ordningen. Vi löser den genom att skriva de primitiva funktionerna.
Svar:
Detta är en homogen differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter. Den har den allmänna lösningen:
har den allmänna lösningen:
Bestäm den lösning till för vilken y(0)=0 och y’(0)=1.
Den allmänna lösningen är
Då vi vet dessa villkor så kan vi räkna ut de två konstanterna C1 och C2:
Svar:
Håller ni inte med om att ekvationen ovanför liknar PQ-formeln? Visst gör den det. Och med hjälp av denna liknelse kan vi lösa ekvationen. Då vi skriver PQ-formeln använder vi oss av lite andra bokstäver:
Denna kallas för den karakteristiska ekvationen, och beroende på vad man får för svar på rötterna r1 och r2 så skiljer sig metoderna för att få fram en lösning.
1. Om den karakteristiska ekvationen har två olika rötter (reella) får differentialekvationen lösningen:
2. Om den karakteristiska ekvationens rötter är desamma och då reella (r1 = r2) är lösningen:
3. Om den karakteristiska ekvationens rötter är komplexa (i) och då varandras konjugat: så är lösningen:
©Copyright Matteguiden | KopieringsOskyddad
Elin Ericsson • Tobias Nyholm • Hannes Hagman • Joakim Carselind • Simon Janghede