Matematik är som kärlek - en enkel idé, med det kan bli komplicerat.

-Okänd

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte 1 - Grunder


Potenser

Potenser

42 = 16 Detta kanske du känner igen från tidigare? Det betyder att du ska ta 4 * 4 = 16 En potens består av en bas och en exponent. De tal man multiplicerar med varandra kallas faktorer, i detta fall är det fyrorna. Basen anger den faktor som ska multipliceras medan exponenten talar om hur många faktorer som ska ingå i produkten. Produkten är resultatet av faktorerna. I detta fall så ska det finnas två stycken faktorer.
Potens

Definition potenser

Exempel 1

Skriv som en potens
a) b) c)


a)
Här ser vi tre stycken faktorer, alla har värdet 4. Vi kan då skriva 4 upphöjt till 3.

b)
Antalet faktorer i detta tal är 5 stycken, alltså 6 (faktorn) upphöjt till 5 (multiplicerat med sig själv 5 gånger).

c)
Det är ingen skillnad för decimaltal. Vi ser två faktorer därmed kan vi skriva 0,3 upphöjt till 2.

Svar: a) 43 b) 65 c) 0,32

Exempel 2

Bestäm värdet utan att använda miniräknare
a) b) c) d)


a)
Enligt räknereglerna så går potenser före multiplikation när man bestämmer räkneordningen. Börja alltså med att räkna ut 52. Tvåan säger att det ska vara 2 faktorer med värdet 5 vilket blir 5 · 5 = 25. Nu när vi beräknat potensen kan vi multiplicera den med 4 och då får vi 100.

b)
Potenser går även före räknesätten addition och subtraktion. Vi räknar alltså ut potenserna var för sig och sedan kan vi utföra subtraktionen. 62 säger att vi ska mulitplicera 6:an med sig själv en gång (2 faktorer = 2 sexor). 6 · 6 = 36.
33 säger att vi ska ha tre faktorer som vardera har värdet 3. 3 · 3 · 3 = 27.
Sedan kan vi beräkna 36-27 som blir 9.

c)
Precis som i b-uppgiften beräknar vi först potenserna och sedan additionen. 32 blir 3 · 3 = 9 och 23 blir 2 · 2 · 2 = 8.

d)

Svar: a) 100 b) 9 c) 17 d) 1

Exempel 3

Bestäm värdet på exponenten n så följande samband stämmer
a) b) c)


a) Multiplicera tvåan med sig själv så många gånger som behövs för att du ska få produkten 16.
Vi ser att det krävs 4 faktorer för att uppnå 16. Därmed är n=4.

b) Upprepa samma metod som a-uppgiften. Antalet treor som krävs motsvarar n.

n=4

c) Upprepa samma metod som a- och b-uppgiften. Antalet femmor som krävs för att uppnå 15 625 motsvarar n.

n=6

Svar: a) n=4 b) n=4 c) n=6

Multiplicering av potenser

Då två potenser med samma bas multipliceras med varandra så kan man lägga ihop exponenterna enligt följande regel:

Multiplikation av potenser

Exempel 4

Skriv som en potens
a) b)


a)
Dessa två potenser har samma baser, alltså kan vi använda regeln ovan som säger att man kan addera de båda exponenterna.

b)
Samma sak som i a-uppgiften fungerar också här då båda potenserna har basen 5. Vi kan se den ensamma femman som en potens också eftersom 51 = 5.

Svar: a) b)

Division av potenser

Om man dividerar två potenser med samma bas med varandra så subtraherar man exponenten i täljaren med exponenten i nämnaren enligt följande formel:

Division av potenser

Exempel 5

Skriv som en potens och beräkna värdet
a) b)


a)
Båda potenserna har samma baser, vi kan alltså tillämpa regeln ovan som säger att vi kan ta täljarens exponent minus nämnarens exponent och få en ny potens. därefter räknar vi ut värdet på den.

b)
Samma sak gäller här som i a-uppgiften. Vi får bara vara uppmärksamma på att det är ett negativt tal i exponenten hos nämnaren. Minus och minus blir plus istället.

Svar: a) b)

Upprepad potensbildning

Om du tar ett potenstal upphöjt till något så kan du multiplicera exponenterna med varandra och få en ny potens:

Upprepad potensbildning

Exempel 6

a) b) c)


a)
Enligt regeln ovan så kan vi multiplicera exponenten i potensen 102 med det tal som potensen i sin tur är upphöjt till.

b)

c)
Här är potensen 203 upphöjd till -3, kom ihåg det när du multiplicerar talen för du ska då få ett negativt tal som ny exponent.

Svar: a) b) c)

Olika baser

Olika baser hos potenser

Exempel 7

Beräkna .


Potenser går före multiplikation så vi börjar med att beräkna .
Enligt regeln ovan så är:

Fortsätt med att beräkna potenserna och utför sedan multiplikationen:

Svar:

Exempel 8

Beräkna .


Potenser går före multiplikation så vi börjar med att få bort exponenten som berör hela parentsen.
Enligt regeln ovan så är:

Fortsätt med att beräkna potenserna och utför sedan multiplikationen:

Svar: 250 000

Potenser med negativ exponent och exponenten noll

Första regeln vi ska titta på är:

för alla värden på a förutom då

Som exempel kan vi ta talet
Om vi räknar ut så ser vi att kvoten blir 1.

Alltså måste också vara lika med 1.

Nästa regel är:

för alla värden på a förutom då

För att förstå denna regel så tittar vi på vad ett tal med negativ exponent egentligen innebär.

Om vi istället skriver ut vad uttrycken betyder:

Alltså är

Andra talexempel är:


Exempel 9

a) Beräkna och skriv sedan som bråktal
b) Beräkna


a) När vi dividerar två potenser med samma bas så innebär det ju att vi tar den första exponenten minus den andra exponenten.

Om vi nu tittar på regeln angående negativ exponent så ser vi att

b) Återigen är det division. Här är det viktigt att komma ihåg att två stycken minus blir plus.

Svar: a)     b)

Potenser med rationell exponent

Om så är
a är talet som multipliceras med sig självt n antal gånger.

Detta kan vi se t.ex. när vi ska beräkna hur lång sidan på en kub är. En kub har ju lika långa sidor, vi benämner dem x. Vi vet att volymen på kuben är 27 cm3 och kubens volym beräknas genom

Hur ska vi få reda på x? Talet som uppfyller detta är ju ett tal som är


Kubens sida är 3 cm.

kallas för kubikroten eller tredje roten ur 27.

Likadant blir t.ex. och här säger man femte roten ur osv.

Om man skriver så menar man

Exempel 10

Beräkna utan räknare
a)
b)
c)


a)
Det är talet 3 som gånger sig självt tre gånger bildar talet 27 enligt detta bevis:

b)

c)






Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer