Det högsta graden av ren tanke tänks i matematik.

-Platon

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte 1 - Grunder


Primtal och delbarhet

Delbarhet

Vi tar ett tal, låt säga, 72. och vi kan därför säga att 72 är delbart med 9 (eller 8). Vi kan också säga att 9 är en faktor av i talet 72.
Alltså:

Delbarhet
Om man kan skriva heltalet a som , där också b och c är heltal, så säger man att a är delbart med b eller a är delbart med c.
Talen b och c är faktorer i talet a

Med andra ord, när vi pratar om delbarhet så handlar det om att kvoten man får ut t.ex. tvåan i är ett heltal, alltså ingen rest eller decimaltal är “tillåtet”. Man kan inte säga att 3 är delbart med 2 då . 1,5 är inget heltal.

Delbarhetsregler

Ett heltal är delbart med
2: om talet är jämnt, alltså om sista siffran i talet är delbar med 2.
Alla jämna tal är delbara med 2. T.ex. 1942, slutar med ett jämnt tal –> delbart med 2.
Andra exempel: 78, 100 334, 67 382 osv.

3: om talets siffersumma är delbar med 3
Med siffersumman menar vi att man adderar alla siffror i talet. Ta t.ex. talet 32 139, om vi adderar siffrorna i talet får vi: 3+2+1+3+9 = 18, och talet 18 är delbart med 3, alltså är talet 32 139 delbart med 3.

4: om talets två sista siffror är delbara med 4
Talet 473 48 är delbart med 4 då 4 och 8 är de sista siffrorna i talet och de båda är delbara med fyra.

5: om sista siffran i talet är 0 eller 5
Talexempel är 2005, 650 000, 15, 745, 680 osv.

9: om siffersumman är delbar med 9
Precis som för delbarheten med 3 så adderar vi alla siffror i talet. Vi tar samma tal igen; 32 139. Addera siffrorna i talet och vi får: 3+2+1+3+9 = 18, och talet 18 är delbart med 9, alltså är talet 32 139 delbart med 9.

Exempel 1

Vilka av följande tal är delbara med 3? Motivera svaren!
a) 345    b) 7 418    c) 14 964    d) 9 487


För att ta reda på om ett tal är delbart med 3 så skulle vi räkna ut siffersumman för talet. Är siffersumman delbar med 3 så är talet delbart med tre.
a) 3+4+5 = 12
12 är delbart med 3 alltså är 345 delbart med 3.

b) 7 + 4 + 1 + 8 = 20
20 är inte delbart med 3, och därmed inte heller 7 418.

c) 1+ 4+ 9+ 6+ 4 = 24
24 är delbart med 3, alltså är 14 964 delbart med 3

d) 9 + 4 +8 +7 = 28
28 är inte delbart med 3 och därmed är inte 9 487 det heller.

Svar: Tal 345 och 14 964 är delbara med 3 då siffersumman för respektive tal är delbar med 3.

Primtal

Primtal är lite speciella i och med att de bara är jämnt delbara med sig själva och siffran 1. Ta t.ex. siffran 11. Försök dela 11 med 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Det går inte att få ett heltal utan vi måste skriva en eller flera decimaler t.ex. 11/2 = 5,5. Delar vi däremot med 1 så får vi 11, vilket är ett heltal och delar vi med 11 får vi 1, vilket också är ett heltal. 11 är alltså ett primtal.
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13 etc. Notera att talet 2 är det enda jämna primtalet (se udda och jämna tal).

Primtal
Heltalet p är ett primtal om och p inte kan skrivas som produkten av två hela tal som är större än 1.

Primtalsfaktorisering

Man kan faktoruppdela alla heltal som inte är primtal i primtalsfaktorer. Detta görs genom att man tittar på vilka siffror ett tal
Om vi tar talet 72 som exempel. Vi skulle kunna börja dela upp talet genom att vi delar det med 9. Siffersumman av 7 och 2 är 9, så 72 är bevisligen delbart med 9.

Sedan kan vi dela 9 med 3 och 8 med 2…:

…och 4 med 2:

För att dubbelkolla att vi har gjort rätt så kan vi räkna ut och se så att det blir 72.

Detta exempel illustrerar tydligt aritmetikens fundamentalsats som säger att

Varje positivt heltal är uppbyggt av primtal vilket innebär att heltalet kan skrivas som en produkt av primtal på bara ett sätt.


Exempel 2

Faktoruppdela talet 11 340 så långt som möjligt.


När man ska faktoruppdela sådana stora tal är det lämpligt att börja med att undersöka t.ex. siffersumman för att avgöra om det t.ex. är delbart med 9. Siffersumman här är 9, alltså är talet delbart med 3 och 9. Därtill är det delbart med 2 då det slutar på en jämn siffra och med 5 eftersom det slutar på noll.

3780 är delbart med primtalen 2, 3, och 5:

756 är delbart med 2 och 3:

252 är delbart med 2 och 3:

84 är delbart med 2 och 3:

28 är delbart med 7:

4 är delbart med 2:

Vi snyggar till det lite med potenser:

Slutligen så dubbelkollar vi på grafräknaren så att ovanstående blir 11 340.

Faktoruppdelning

Svar:




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Mona Elfstrand Carlsson
    6 februari 2014 @ 18:03

    vad är delbart med 3,5,7