Matte 1 - Uttryck och ekvationer
Ekvationer
Ekvationer
Anton skulle hyra en bil av en biluthyrningsfirma där man fick betala 250 kr plus bensinkostnaden som var 10 kr/mil. Om vi tecknar ett uttryck för totalkostnaden då man kör x mil så blir det:
Då Anton lämnade tillbaka bilen fick han betala 400 kr. Hur långt hade Anton kört?
För att kunna svara på detta så måste vi hitta ett värde på x så att likheten nedan blir sann:
Denna likhet är vad vi kallar för ekvation. En lösning till ekvationen är ett tal x, om ekvationens vänstra led (VL) är lika mycket som (samma värde) ekvationens högra led (HL).
Här kan vi ganska lätt se att x = 15 är en lösning. Anton hade enligt uttrycket (400-250) förbrukat bensin för 150 kr, och eftersom kostnaden för bensinen var 10 kr/mil blir körsträckan:
150/10=15
Detta kan vi lätt kontrollera genom att sätta in x = 15 i ekvationen. Detta kallas att pröva ekvationen.
Att lösa ekvationer
I denna ruta har Matteguiden sammanfattat några tips och saker att tänka på när du löser en ekvation:
- Jämlikhet
Nyckelordet för att läsa ekvationer är jämlikhet! Det du gör på ena sidan om likhetsteckenet måste du också göra på andra sidan likhetstecknet t.ex. om du vill ta -3 på vänstra sidan om likhetstekcnet måste du även göra det på högra sidan om likhetstecknet. - Börja med x-termen
Det man alltid strävar efter när man löser ekvationer är att få alla x på samma sida (lämpligen vänster sida) om likhetstecknet och att de ska stå där ensamma alltså inga andra tal på samma sida. Med andra ord ska konstanterna alltså samlas på andra sidan. Det finns ingen regel för i vilken ordning man gör detta. Om du tycker det är lättare att börja med att flytta konstanterna gör så, om du tycker det är enklare att börja med x-termerna så gör det.
Lös ekvationen
a) 3x=13,5 b) 4x+2=18
a)
För att få fram vad x är så måste vi dividera bort 3:an. Kom ihåg att om du dividerar på ena sidan om likhetstecknet måste du även dividera på andra sidan!
b)
För att kunna lösa ekvationen måste vi samla alla x på en sida och alla konstanter på andra sidan. Vi vill att 4x ska stå för sig självt i vänsterled och måste därför ta bort +2 så därför börjar vi med att skriva dit -2 (2-2=0). Återigen, det vi gör på ena sidan likhetstecknet måste vi också göra på andra sidan likhetstecknet.
Tvåorna i vänsterled tar ut varandra så det blir 0, ensam kvar står 4x. Som ni ser så an vi beräkna subtraktionen 18-2 i högerledet.
Vi vill ju veta vad x är och måste alltså få bort 4:an framför x:et. Detta gör vi genom att dela med 4, glöm inte att du också måste dela med 4 i högerled!
Svar: a) x=4,5 b) x=4
Att skriva ekvationer på ett korrekt sätt
Först och främst vill jag påminna om en regel i tipsrutan ovan: “Samla alla x på samma sida (lämpligen i vänsterled)”. Varför vänsterled? Jo, för att x (eller vilken annan bokstav som helst) i en ekvation kännetecknar att det är en variabel, dvs. x kan anta vilket värde som helst: x=2, x=3, x=4, x=5, x=20, x=1 456, x=21 890 osv. Om vi skriver
så kan alltså x vara vad som.
Skulle vi däremot samla x:en i högerled skulle ekvationen t.ex. sluta i
vilket inte säger något om att x är en variabel utan indikerar mer att 1 456 även kan kallas x.
Ekvationsuppställning
När man löser ekvationer finns det två sätt att skriva dem på.
Metod 1:
Vi låter varje steg i beräkningen stå på sin egen rad:
Metod 2:
Av utrymmesmässiga skäl kan det vara skönt att skriva flera steg i beräkningen på samma rad, men stegen måste då tydligt skiljas av med hjälp av dubbelpilar . Dubbelpilen är resultatet av en höger och en vänsterpil där högerpilen visar att man gör en omskrivning av ekvationen och vänsterpilen att denna omskrivning också går att göra åt andra hållet. Mellan pilhuvudena kan man tänka sig att man ser ett likhetstecken då dubbelpilarna också visar att ekvationen egentligen inte har förändrats i sina proportioner utan det är bara utseendet som är annorlunda.
Lös ekvationen
a) b) c) d)
a) Lägg till 5 på båda sidorna. På så vis tar femmorna i VL ut varandra.
För att få bort 8:an i nämnaren gångar vi med 8 i täljaren så åttorna tar ut varandra. För jämlikheten måste vi även multiplicera med 8 i HL.
Dela med 4 i båda leden för att få fram vad x är.
b) Multiplicera med 4 på båda sidorna.
Ta därefter bort tvåan i VL. Dela sedan med 6 i båda leden föra tt få fram x.
c) Multiplicera med x i båda leden. Dela därefter båda leden med 2.
Det mer korrekta sättet är att skriva x=5, därför bytte jag plats på dem. x=5 och 5=x är samma sak, här behöver ni inte tänka på att det blir andra tecken eller så.
d) Multiplicera med x i båda leden. Dela därefter båda leden med 1,5.
Det mer korrekta sättet är att skriva x=3, därför bytte jag plats på dem. x=3 och 3=x är samma sak, här behöver ni inte tänka på att det blir andra tecken eller så.
Notera
Dubbelpilen används till att markera de olika stegen, antingen använder man den eller så byter man rad. Den visar också att den omvandlingen du gör kan även göras åt andra hållet.
Om du känner att du fattat grejen med ekvationer så kan du, om du vill, hoppa över steget där du skriver att du tar bort eller lägger till på båda sidorna. Detta sätt funkar också om man helt enkelt inte bryr sig om varför man gör som man gör.
Lös ekvationen
a) b)
a)
Tänk istället att tvåan i vänster led ska över till höger led. När du flyttar den över likhetstecknet, alltså när den byter sida så ska den också byta tecken. Den går från +2 i VL till -2 i HL. Detta gäller både konstanter och variablar.
b)
I denna ekvation vill vi ju få bort x:et från nämnaren. Vi låter alltså x:et byta sida och när den gör det övergår den från division till multiplikation, därav 2x. Däreter är det bara att räkna som vanligt.
Om en konstant eller en variabelterm byter sida m likhetstecknet så byter de även tecken.
Plus och minus är varandras motpoler liksom multiplikation och division är varandras motpoler.
Att lösa ekvationer med flera termer
Lös ekvationen
a) b)
a)
Flytta över x:en på ena sidan och konstanterna på andra sidan.
Dela med -2 för att lösa ut x.
b)
Flytta över x:en på ena sidan och konstanterna på andra sidan.
Dela med 12 på båda sidorna för att få fram ett x.
Svar: a) x=7 b) x=1/3
Omskrivning av formler
När man använder sig av formler så är det ju oftast en utav variablerna man är intresserad av, och beroende på vilken information man har fått så måste man kanske skriva om formeln för att kunna räkna ut den rätta variabeln.
Sambandet mellan spänning, resistans och ström ser ut som följande:
där U är spänningen, R är resistansen och I är strömmen. Hur stor är strömmen i ett vägguttag om spänningen är 230 V och resistansen 23Ω?
För att kunna räkna ut strömmen I så behöver vi först skriva om formeln till I=….Vi löser alltså ut I ur formeln, precis som man löser ut x.
Dividera bort R i HL. Jämlikheten ger att vi dividerar med R i VL också.
eller mer korrekt:
Nu kan vi bara stoppa in den info vi har och på så vis räkna ut I.
Svar: Det är 10 A i vägguttaget.