Matte 1 - Uttryck och ekvationer
Uttryck och formler
Uttryck
Ett exempel på ett uttryck är:
x:et i uttrycket kallas för variabel, vilket betyder att x kan vara vilket tal som helst. Du kan få fram uttryckets värde genom att sätta in ett tal där x är.
Notera att är detsamma som , normalt sett brukar man bortse från att skriva ut gångertecknet.
Beräkna värdet på uttrycket 20x+4 om
a) x=2 b) x=8
a) Ersätt x:et i formeln 20x+4 med 2:
b) Ersätt x:et i formeln 20x+4 med 8:
Svar: a) 44 b) 164
Hos en biluthyrning kostar det 420 kr per dygn plus kostnaden för bensinen. Bilen drar 1 liter per mil, och varje liter bensin kostar 8 kr.
a) Vad får vi betala om vi kör x mil? Teckna ett uttryck för detta.
b) Hur mycket får vi betala om vi kör 10 mil med hyrbilen?
a) Baserat på informationen som ges, vad får vi betala om vi kör x mil? Det går inte att få ut något värde på hur mycket det skulle kosta, eftersom vi inte vet hur mycket x är. Däremot kan vi teckna ett uttryck för den totala kostnaden. Det skulle i så fall bli:
Det kostar alltid 420 kr när du hyr bilen. Till denna pengasumma läggs också bensinkostnaden. Du kör x mil och för varje mil kostar det 8 kr. För att få fram totalt hur mycket alla milen kostar så multiplicerar man bensinkostnaden per mil med antalet mil man kör, alltså .
Med hjälp av detta uttryck kan vi lätt beräkna totalkostnaden för olika värden på x.
b) Vi kan nu använda vårt uttryck vi nyss bildade för att beräkna kostnaden. I detta fall så är mil vilket vi sätter in i uttrycket. På så vis kan vi beräkna uttryckets värde som alltså är detsamma som kostnaden för hyrbilen:
Svar: a) b) Kostnaden blir 500 kr
Om vi istället hade kört 15 mil med hyrbilen hade vi ersatt x med 15 osv:
Formler
Ovan pratade vi nyss om uttryck och uttrycket i vårt exempel beskrev kostnaden för en hyrbil som varierade med hur långt man körde (x mil). Demir kör bil från Älmhult till Kalmar och han håller genomsnittshastigheten 90 km/h och är framme efter 2 timmar. Om man multiplicerar hastigheten med tiden så får man ett uttryck som beskriver hur långt Demir har kört.
Om vi vill veta hur lång sträcka Demir har avverkat när han kört i t timmar i 90km/h så skriver vi uttrycket där variabeln t är tiden i antalet timmar. Om vi kallar sträckan för S så kan vi bilda formeln
Som ni ser så har en formel både ett vänsterled och ett högerled, alltså tal på båda sidorna om likhetstecknet. Detta skiljer en formel från ett uttryck, som bara har ett led.
Formeln visar att det finns ett samband där sträckan är beroende på den tid som Demir har kört. Här beror alltså sträckan S av antal timmar t, som Demir har kört med hastigheten 90 km/h. Man säger att S är den beroende variabeln och t är den oberoende variabeln. Den beroende variabeln anger värdet på uttrycket som varierar med värdet på den oberoende variabeln.
Använd informationen ovan för att beräkna hur långt Demir kommit på 4 timmar.
Vi vet att och kan då ersätta t med 4 i formeln:
Svar: Demir har kört 360 km.
Förenkling av uttryck
Vi ska räkna ut omkretsen på den här rektangeln vars ena sida är x cm lång, medan den andra är x + 4 cm lång. Omkretsen är summan av alla sidors längder, alltså:
Då man förenklar ett uttryck räknar man variablerna och konstanterna för sig. I detta exempel adderar vi därför variabeltermerna med varandra, och konstanttermerna med varandra.
Förenkla följande uttryck
a) b)
a)
Gånga trean framför parentesen först med x:et sedan med tvåan.
Lägg sedan ihop de två variabeltermerna:
b)
Multiplicera tvåan framför parentesen, först med tvåan sedan med x:et. Notera här att tvåan framför parentesen är negativ. Vi får därför -4 och +2x (minus*minus blir plus).
Lägg sedan ihop de två variabeltermerna:
Svar: a) 8x-6 b) 10x-4