En halv är, tänk nu hur främmande, två tredjedelar av tre fjärdedelar.

-Piet Hein

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte B - Statistik


Försök i flera steg

Ett vanligt sätt att beskriva ett slumpförsök är genom att använda ett träddiagram. Vi tar vårt exempel med när man singlar slant. De två utfallen är krona och klave.

En enkrona

I träddiagrammet nedan ser vi sannolikheten för varje utfall.

Träddiagram

Om vi kastar myntet 2 gånger, ett s k  dubbelkast, så är det ett exempel på ett försök i två steg. Kastar man fler gånger så kallas det för flerstegsförsök. Just flerstegsförsök beskrivs ofta med ett träddiagram.

Sannolikheten för ett utfall i ett flerstegsförsök är lika med produkten av sannolikheterna för de olika stegen i utfallen.

Studera träddiagrammet här nedan.

Träddiagram med flera steg

I detta fall så är det så att sannolikheten för om det blir krona eller klave i andra kastet är helt oberoende av vad som hände i första kastet. Vill vi beräkna sannolikheten för att man får klave två gånger i rad så skriver vi:
P(klave, klave) = 0,5 * 0,5 = 0,25
Sannolikheten för klave, krona blir således:
P(klave, krona) = 0,5 * 0,5 = 0,25

Ett annat exempel är om det nu skulle vara så att det andra försöket vore beroende av vad som hände i första försöket.

Exempel 1

Örjan har 11 tröjor, varav 4 är röda och 7 är svarta. Örjan går fram till byrån där tröjorna ligger och plockar två tröjor på måfå.
Vad är sannolikheten att Örjan plockar
a) 2 röda tröjor    b) 2 svarta tröjor    c) 1 röd och 1 svart

Rita upp ett träddiagram och besvara uppgifterna.


Vi börjar med att rita upp ett träddiagram och fyller i de siffror vi vet.

Sannolikhetslära, Träddiagram

Vi vet sannolikheterna för första tröjan Örjan plockar. Där är sannolikheten för att det är en röd tröja 4/11 då det fanns 4 röda tröjor utav 11. På samma sätt är P för att den första tröjan är svart 7/11 då det fanns 7 svarta tröjor utav totalt 11.
Nu är det så att sannolikheten för de olika färgerna på den andra tröjan han plockar beror på vilken färg den första tröjan hade. Vi fortsätter att fylla i vårt träddiagram:

Om den första tröjan var röd så innebär det att det bara finns 3 röda tröjor kvar. Antalet svarta tröjor är fortfarande 7. Slutligen, det totala antalet tröjor är nu bara 10 eftersom han redan har plockat en.

Om den första tröjan istället var svart så innebär det att det nu finns 6 svarta kvar. Antalet röda är fortfarande 4. Likaså här är det totala antalet tröjor 10 stycken istället för 11.

Sannolikhet, Träddiagram

Då kan vi gå in på uppgifterna:

a) Här plockade Örjan 2 röda tröjor. Vi börjar då med att kolla sannolikheten för 1 röd tröja vid första ”plockningen”. Då var P(röd)=4/11. Efter det plockade han ännu en röd och denna gång var P(röd) istället 3/10.

Sannolikheten att han plockar 2 röda tröjor blir då enligt regeln ovan:

b) Då Örjan plockar 2 svarta tröjor så var sannolikheten för en svart tröja i första plockningen 7/11 och sannolikheten för en svart tröja även i andra plockningen 6/10. Alltså:

c) Då Örjan först plockar en röd och sedan en svart så är sannolikheten för en röd i första plockningen 4/11 och en svart i andra plockningen 7/10. Därmed får vi:

Det färdiga trädet ser således ut så här:

Sannolikhet, Träddiagram

Svar: a) b) c)




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Tobbe
    30 september 2010 @ 14:36

    P(röd, svart)=Stämmer väl inte?
    4/11 ggr 7/10 + 7/11 ggr 4/10=
    28/110 + 28/110=
    56/110=
    28/55
    För i frågan verkar det inte som att ordningen av vilken färg han tar har någon betydelse. Isåfall bör frågan vara sannolikheten för en “röd SEN en svart”.

  2. Shir
    11 december 2010 @ 14:19

    hej en fråga bara. jag har 4st burkar tomater och 5st burkar persikor men alla etiketter har ramlat av och jag öpnnar två av dem på måfå. vad är sannolikheten att innehållet i de två burkar är olika? :S

  3. Fredrik
    19 december 2010 @ 23:59

    Men snälla du Shir läs igenom instruktionerna så är det enkelt..

  4. Lars Rinse
    26 februari 2013 @ 7:35

    Bra matematiksida! Tips till mina elever som vill komplettera undervisningen I skolan med lite egna studier!

  5. Peter Lundh
    26 februari 2013 @ 11:01

    http://www.matteboken.se/lektioner/kandismatte/dogge-doggelito kolla in denna sidan Lars, faktiskt riktigt kul, Dogge är kanske inte världsmästare, men det finns andra duktiga kändisar, bara att bläddra igenom,,:-)