Matte 1 - Sannolikhetslära
Slumpförsök och likformig sannolikhetsfördelning
Slumpmässiga försök
Om vi singlar slant och låter enkronan falla mot golvet så kommer den antingen landa med klave eller krona uppåt. Vi kan aldrig veta vilket sätt den kommer att landa på eftersom det är så oerhört mycket som spelar in; hur du kastar upp myntet, hur mycket snurr du får på det osv.
Vi säger att hur myntet landar (resultatet) beror på slumpen och slumpförsöket är då vi kastar upp myntet. Myntet landar så att den visar antingen krona eller klave och dessa två resultat kallas för försökets utfall.
Andra exempel på slumpförsök och deras utfall kan vara:
- Kasta en tärning och se vad den visar. Utfallen är etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa.
- Välj en hund och bestäm dess kön. Utfallen är hona, hane.
Ett slumpförsök är ett försök där man inte säkert kan förutsäga dess utfall oavsett hur många gånger man gjort försöket tidigare.
Ett slumpförsök gick ut på att man kastade två tärningar en gång och räknade sedan hur många prickar man fick sammanlagt.
Räkna upp utfallen och ange därefter hur många de är.
Vi kan direkt utesluta utfallet att summan skulle bli 1 eftersom 1 är det minsta talet på vardera tärning och summan av dem kan därför bli minst 2.
Likaså är det högsta talet på båda tärningarna 6 vilket innebär att den högsta summan av dem kan bli 12.
Däremellan finns en rad olika kombinationer från olika tal, men vi kan snabbt konstatera att det finns minst en kombination vars summa motsvarar något av talen mellan 2 och 12. Alltså är de olika utfallen följande:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Och de är 11 till antalet.
Likformig sannolikhetsfördelning
När man utför vissa slumpförsök så kan man rimligen anta att alla utfallen har samma sannolikhet, vilket kallas likformig sannolikhetsfördelning.
Ett klassiskt exempel på detta är just kast med en sexsidig tärning. Tärningen har 6 möjliga utfall: etta, tvåa, trea, fyra, femma och sexa. Vid kast med en sådan tärning är det rimligt att förvänta sig att de olika sidorna uppkommer lika ofta, vilket förstås kräver att tärningen är symmetrisk. Om så är fallet så är sannolikheten för att få t.ex. en tvåa, följande:
På så vis är t.ex. sannolikheten för att få ett tal som är minst 3:
Alltså:
Sannolikheten för en händelse beräknas
där ett önskar utfall är ett utfall som ingår i händelsen.
Ellen har en godispåse med 4 sura och 6 söta godisbitar. Hon sticker ner handen och plockar på måfå en godisbit. Vad är sannolikheten att hon får en
a) sur? b) söt?
a) Först och främst behöver vi räkna ut hur många godisbitar det finns totalt alltså hur många möjliga utfall det finns: 4+6=10
Det önskade utfallet i a-uppgiften är sura godisbitar och hur många sådana fanns, jo 4, alltså:
b) Det önskade utfallet här är söta godisbitar och antalet sådana utfall är ju 6 stycken vilket ger sannolikheten:
Markus strosar runt på en marknad och får syn på ett lotteri. Han bestämmer sig för att köpa en lott. Lotteriet består av 20 vinstlotter och 80 nitlotter. Markus rullar upp sin lott och det visar sig att han har vunnit. I sitt glädjerus köper han ännu en lott.
Vad är sannolikheten att han får
a) en vinstlott? b) en nitlott?
a) När Markus köpte första lotten fanns där 100 lotter totalt. När han nu köper nästa är det en mindre alltså 99 stycken, varav 19 utav dessa är vinstlotter eftersom han redan ”förbrukat” en vinstlott. Alltså
b) Antalet nitlotter är fortfarande detsamma, 80 stycken. Det ger oss sannolikheten: