Gud har skapat de naturliga talen. Resten är människans verk.

-Leopold Kronecker

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte 2 - Algebra och ickelinjära modeller


Andragradsfunktioner

Andragradsfunktioner

Exempel på andragradsfunktioner är funktioner, som beskrivs av sambanden och , där c är en konstant. Om vi ritar upp andragradsfunktionen så ser den ut såhär:
Funktioner

Andragradsfunktioners grafer kallas parabler. Man säger att grafen till en andragradsfunktion alltid är symmetrisk kring en lodrät linje som då kallas symmetrilinjen (är i detta fall y-axeln). Grafen löper på vardera sida om symmetrilinjen och de båda sidorna är varandras spegelbild dvs. grafen har samma koordinater fast i motsatta tal (minus och plus). Talen är motsatta y-värden då den är symmetrisk kring y-axeln t.ex. -1 och +1 och därmed är det lika stort avstånd till symmetrilinjen från båda punkterna. I de fall då funktionen är symmetrisk kring x-axeln talar man om motsatta x-värden.
Grafen illustrerar en positiv andragradsfunktion (), alla positiva andragradsfunktioner ser ut såhär, alltså att deras öppning är vänd uppåt. Punkten där kurvan vänder kallas vertex och är för positiva andragradsfunktioner den lägsta punkten på hela kurvan. I och med detta har den det minsta värdet som funktionen kan anta och kallas därför minimipunkt.

Om vi nu ritar upp en negativ andragradsfunktion så ser vi att även den har y-axeln som symmetrilinjen, men grafens öppning är vänd nedåt istället. Annars gäller det även för denna att grafen ser likadan ut på båda sidorna om y-axeln med positiva och negativa tal.
Funktioner
Punkten där de negativa andragradsfunktionerna vänder kallas maximipunkt eftersom det är det högsta värdet funktionen kan anta och grafens högst belägna punkt.

Som en enkel minnesregel kan man tänka sig andragradsfunktionernas grafer som en glad och en ledsen mun. Positiva funktioner ger en glad mun, negativa ger en ledsen mun. ;)

De funktioner vi har visat ovan är funktioner där konstanten c är lika med noll. Vad händer om vi låter c bli ett positivt tal, t.ex. ?
Jo, grafens utseende förblir oförändrat eftersom fortfarande står för sig själv, MEN grafens placering blir annorlunda. Värdet på konstanten bestämmer nämligen var i höjdled grafen befinner sig. Positivt värde på c gör att kurvans vändpunkt lägger sig på den positiva delen av y-axeln, ovanför origo, medan negativt värde gör att vändpunkten hamnar någonstans på den negativa y-axeln, nedanför origo.
I bilden ser ni skillnaden på (blå) och (grön).

Funktioner

Exempel 1

exempel på ickelinjär funktionFiguren visar två grafer till två funktioner. Dessa funktioner ges av ekvationer med formen . Ange ekvationerna blå respektive grön.


Vi börjar med den blå ekvationen som, helt klart, är en andragradare, dels för att uppgiften säger det ;) men också för att vi ser det på dess form. Vi ser också att grafen är öppen uppåt, med andra ord är andragradsfunktionen negativ.
Så långt har vi alltså , men har c något värde? Konstanten c visar ju att en kurva är förskjuten i höjdled, antingen uppåt eller nedåt. Den anger y-koordinaten som kurvans vändpunkt ligger i. Tittar vi på den blå grafen så ser vi att grafens vändpunkt ligger där y=3. Alltså får c värdet +3 och vi har listat ut den blå grafens ekvation:

Den gröna grafen är också en andragradare, men denna ser ut som en glad mun, kurvan pekar uppåt och därmed är x2 positiv. Om vi ser till var grafens vändpunkt är så ser vi att den ligger på punkten där y=-1,5. C har då värdet -1,5 vilket ger oss slutekvationen:

Svar: Den blå grafen har ekvationen och den gröna grafen har ekvationen .

Nollställen

Nollställen kallas de ställen hos funktionen där den skär x-axeln. Där x-axeln skärs är nämligen funktionen f(x), likaså y-värdet, lika med noll. För att ange för vilka x-värden detta gäller kan man antingen titta direkt i grafen (grafisk lösning) eller beräkna det genom att säga att funktionen är lika med noll (algebraisk lösning).
Funktionen i grafen här nedanför har nollställena x=-1 och x=1.

Funktioner

Algebraisk lösning:

Vi måste dock vara medvetna om att alla andragradsfunktioner inte har 2 nollställen, vissa har bara ett eller inget alls. Se kurvorna nedan där den ena kurvan skär x-axeln en gång (med sin vertex) och den andra inte är i närheten av x-axeln.
Andragradsfunktion nollställen

Exempel 2

Bestäm nollstället till funktionen f.
a)    b)
c)


a) Nollstället är alltså det ställe där funktionen är lika med noll f(x)=0 eller y=0.
Alltså sätter vi funktionen är lika med noll:

b)

Svar: a)    b)

c) Även här sätter vi att funktionen är lika med noll:

Beräkna en andragradsfunktions största eller minsta värde

Som vi har sett så hittar vi en andragradsfunktions största/minsta värde i grafens vändpunkt dvs. vertex. För att ta reda på största/minsta värdet så kan vi utnyttja det faktum att vertex ligger i symmetrilinjen som i sin tur ligger mitt emellan punkter med samma y-värden t.ex. nollställen. Grafen på ena sidan symmetrilinjen är ju en spegebild av grafen på andra sidan.
Som ett exempel kan vi titta på den här grafen:
Största och minsta värde 1
Grafen ovan visar funktionen .

Vi börjar med att beräkna grafens nollställen: .
PQ-formeln ger oss:
Vi ser att vilket innebär att grafen korsar x-axeln där x = 1 och x = 5. Tittar vi i bilden så kan vi se att detta stämmer.

Vi vet att symmetrilinjen befinner sig mittemellan de båda nollställena alltså ett värde på x plus eller minus 2, med andra ord står ju 3:an i PQ-formeln ovan för symmetrilinjens x-värde.
Vi kan säga:

Symmetrilinjens ekvation
då en andragradsekvation skrivs om till formen:

Genom att vi nu vet att symmetrilinjen går där x = 3 så vet vi att det största/minsta värdet för andragradsfunktionens graf är det y-värde där x = 3. Vi beräknar alltså y genom att sätta in x = 3 i andragradsfunktionen:
.

Grafens minsta värde är alltså -4.

Men vad gör man om man har en funktion som aldrig passerar x-axeln?
Ta t.ex. andragradsfunktionen som ser ut såhär:
Största och minsta värde 2

Det hela är ganska enkelt, även om funktionen saknar nollställen så kan man ändå ställa upp ekvationen för att beräkna nollställena. Det enda vi är ute efter är ju symmetrilinjens värde:

Vi sätter in x = 2 i funktionen och beräknar y-värdet:

Det minsta värdet för funktionen är 2.

Exempel 3

I bilden ses grafen av andragradsfunktionen . Bestäm grafens nollställen samt största/minsta värde.
Största och minsta värde 3


Vi börjar alltså med att bestämma nollställena för grafen. Vi sätter andragradsfunktionen lika med noll och beräknar de båda lösningarna med PQ-formeln:

Notera att andragradstermen är negativ, detta måste vi ändra på innan vi börjar med PQ-formeln. VI multiplicerar därför alla termer med -1.


och

Symmetrilinjen var
Vi sätter in detta värde i ursprungsfunktionen:


Svar: Funktionens nollställen är 1 och -8 och dess största värde är 20,25. (Vertex har koordinaterna (-3.5, 20,25)).




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Charlott Grenthe
    5 februari 2014 @ 15:55

    Tur att My Academy och matteboken.se FINNS!!!!!!

  2. Anonym
    28 februari 2014 @ 13:11

    Hejsan vet inte hur jag ska ange k genom att räkna ut x2+x+k.tack i förväg