Matematik är talens grammatik

-Hans Lohberger

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte Diskret - De hela talen


Delbarhet och primtal

Delbarhet och primtal

Vi tar ett tal, låt säga, 72. och vi kan därför säga att 72 är delbart med 9 (eller 8). Vi kan också säga att 9 är en faktor av i talet 72.
Alltså:

Delbarhet
Om man kan skriva heltalet a som , där också b och c är heltal, så säger man att a är delbart med b eller a är delbart med c.
Talen b och c är faktorer i talet a

Med andra ord, när vi pratar om delbarhet så handlar det om att kvoten man får ut t.ex. tvåan i är ett heltal, alltså ingen rest eller decimaltal är “tillåtet”. Man kan inte säga att 3 är delbart med 2 då . 1,5 är inget heltal.

Om ett heltal som är större än 1 inte råkar ha några andra faktorer än sig själv, t.ex. 11 = 11· 1, och talet 1 så är detta tal ett primtal.
Detta leder till primtalens definition:

Primtal
Heltalet p är ett primtal om och p inte kan skrivas som produkten av två hela tal som är större än 1.

I faktoruppdelningen av vårt tal kan vi fortsätta uppdelningen av faktorer i talen 8 och 9. Då denna uppdelning tar stopp så har vi lyckats dela upp det ursprungliga talet 72 i primfaktorer.

Exempel 1

Dela upp talet 72 i primfaktorer.


Uppdelningen kan göras på flera sätt. Här väljer vi att börja dela med 2 då 72 är ett jämnt tal.

36 kan sedan vidare delas med 2:

Likaså 18 kan delas med 2:

9 är delbart med 3:

Nu går det inte att dela upp våra faktorer längre då faktorerna nu enbart utgörs av primtal. Däremot kan vi snygga till det uppdelningen lite. Vi har ju tre stycken tvåor som multipliceras samman och två stycken treor som multipliceras samman. Därmed kan vi skriva potenser av dem:

Svar:

Om du får frågan “Är talet delbart med 4?”, hur gör du för att svara?
Ett sätt är ju att bara kontrollera det på en miniräknare. Där får vi fram att och att , så svaret är “Ja, det är delbart med 4″.

Ett annat sätt, och betydligt bättre, är att vi visar delbarheten genom att skriva om talet:

Talet består av två stycken multiplikationstal och i vardera multiplikationstal finns en faktor (i detta fall 24 och 32) som vi lätt ser att de är delbara med 4. Om ett tal som är delbart med t.ex. 4 multipliceras med ett annat tal, så kommer produkten av dem också vara delbar med 4, egenskapen följer med liksom.
Eftersom vi kunde bryta ut faktorn 4 i högerledet så bevisar det att även vänsterled är delbart med 4.

Genom detta kan vi tillämpa regeln:

Om a och b är delbara med k så är även delbart med k. Talen f och g är heltal.


Exempel 2

Är talet delbart med 7?


Precis som i texten ovan har vi här två multiplikationstal som har sina respektive faktorer. Regeln ovan säger att om båda multiplikationstalen har varsin faktor som är delbar med 7 så är även multiplikationstalen delbara med 7. Multiplikationstalet ger produkten 8 876, en produkt som består av faktorerna 634 och 14 och då 14 är delbart med 7 så är även produkten det.
Detsamma gäller för multiplikationstalet som har faktorn 63, ett tal som är delbart med 7.

Talet utgörs av att man lägger ihop två stycken produkter. Eftersom båda produkterna innehåller en faktor som är delbar med 7 så blir även summan av de två multiplikationstalen delbar med 7.

Svar: Ja, talet är delbart med 7.

Delbarhetsregler

Ett heltal är delbart med
2: om talet är jämnt, alltså om sista siffran i talet är delbar med 2.
Alla jämna tal är delbara med 2. T.ex. 1942, slutar med ett jämnt tal –> delbart med 2.
Andra exempel: 78, 100 334, 67 382 osv.

3: om talets siffersumma är delbar med 3
Med siffersumman menar vi att man adderar alla siffror i talet. Ta t.ex. talet 32 139, om vi adderar siffrorna i talet får vi: 3+2+1+3+9 = 18, och talet 18 är delbart med 3, alltså är talet 32 139 delbart med 3.

4: om talets två sista siffror är delbara med 4
Talet 473 48 är delbart med 4 då 4 och 8 är de sista siffrorna i talet och de båda är delbara med fyra.

5: om sista siffran i talet är 0 eller 5
Talexempel är 2005, 650 000, 15, 745, 680 osv.

9: om siffersumman är delbar med 9
Precis som för delbarheten med 3 så adderar vi alla siffror i talet. Vi tar samma tal igen; 32 139. Addera siffrorna i talet och vi får: 3+2+1+3+9 = 18, och talet 18 är delbart med 9, alltså är talet 32 139 delbart med 9.

Exempel 3

Vilka av följande tal är delbara med 3? Motivera svaren!
a) 345    b) 7 418    c) 14 964    d) 9 487


För att ta reda på om ett tal är delbart med 3 så skulle vi räkna ut siffersumman för talet. Är siffersumman delbar med 3 så är talet delbart med tre.
a) 3+4+5 = 12
12 är delbart med 3 alltså är 345 delbart med 3.

b) 7 + 4 + 1 + 8 = 20
20 är inte delbart med 3, och därmed inte heller 7 418.

c) 1+ 4+ 9+ 6+ 4 = 24
24 är delbart med 3, alltså är 14 964 delbart med 3

d) 9 + 4 +8 +7 = 28
28 är inte delbart med 3 och därmed är inte 9 487 det heller.

Svar: Tal 345 och 14 964 är delbara med 3 då siffersumman för respektive tal är delbar med 3.




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. max
    30 juli 2010 @ 2:13

    fint