Matematik är talens grammatik

-Hans Lohberger

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte Diskret - Satslogik och algoritmer


Satslogik

Påstående

När en sats sägs vara antingen sann eller falsk så säger man att den är ett påstående. Ett påstående betecknas normalt sett med bokstäverna P, Q, R, S osv. en bokstav för varje påstående.
Nedan ser vi några exempel på påståenden.

P: Tina älskar hundar
Q: Det är varmt ute
R: 4 + 23 = 27
S: Solen lyser

För samtliga satser kan vi bedöma om de är sanna eller falska, alltså har i fyra påståenden.

Ett påstående har ett så kallat sanningsvärde, där värdet antingen är sant eller falskt. Dessa skrivs i engeskan som (T) true och (F) false. True och false är vanliga i många programmerinsspråk, men representeras som 1 (true) och 0 (false) på grafräknaren.

Sammansatta påståenden

Man kan sammanfoga enkla påståenden till mer komplexa genom att använda sig av olika logiska operatorer, som länkar ihop dem.
Bland de vanligaste operatorerna har vi:

och
eller
icke
om…så

Nedan visas några olika sätt att kombinera de olika påståendena ovan:
“Tina älskar inte hundar”
“Det är varmt ute och Tina älskar hundar”
“4 + 23 = 27 och det är varmt eller solen lyser”
“Om solen lyser så är det varmt ute”

Exempel 1

P: Peter är hungrig    R: Nästa vecka skiner solen
Q: Peter vill ha fisk    S: Nästa vecka blir det inga moln
Skriv, med hjälp av rätt operatörer, följande sammansatta påståenden
a) Peter är hungrig och vill ha fisk    b) Om solen skiner nästa vecka så blir det inga moln
c) Peter är hungrig, men vill inte ha någon fisk    


a)
“Peter är hungrig”, detta står påstående P för. “Han vill ha fisk”, det står påstående Q för. Ett “och” binder samman de båda påståendena.

b)
Vi kombinerar påstående R och påstående S som påstår “solen skiner nästa vecka” respektive “nästa vecka blir det inga moln”, de sammanfogas mha operatorn om…så.

c)
I detta sammansatta påstående ingår P och Q, men Q
Svar: a)    b)    c)

Nu tar vi och går in lite djupare på varje logisk operator…

och – konjuktion

När vi talar uttrycker vi flertalet satser som är s.k. påståenden. Det kan t.ex. vara “Idag åt jag potatis och köttbullar”. Denna mening utgörs av satserna:
P: Idag åt jag potatis.
Q: Idag åt jag köttbullar.

De båda satserna har kombinerats med operatorn och och bildar då ett sammansatt påstående som kallas konjuktion. Det som är specifikt för en konjuktion är att dess sanningsvärde är sant enbart om de båda påståendena är sanna. Om så inte är fallet, är det falskt. Dvs, mitt uttalande om att jag åt potatis och köttbullar idag stämmer endast om jag åt både köttbullar och potatis, annars är det falskt.

Vi kan göra en sanningstabell för att avgöra sanningshalten hos de kombinerade påståendena. Först skriver vi de olika satserna och sist skriver vi det sammansatta påståendet.

P Q
S S S
S F F
F S F
F F F

i tabellen ser vi att endast då både P och Q är sanna så är påståendet sant.

Exempel 2

Skriv följande konjuktioner med de givna påståendena samt skapa en sanningstabell för varje
P: Anna springer fort
Q: Anna springer bra
R: Idag blir det soligt
S: Idag blir det blåsigt

a) Anna springer fort och bra    b) Idag blir det soligt och blåsigt   c) Idag blir det soligt och Anna springer bra


a) Här ska påstående P och Q kombineras med operatorn “och”:

Gör en kolumn för vardera påstående som är med i det sammansatta påståendet. Sista kolumnen utformas för det sammansatta påståendet. Eftersom det är operatorn och som sammanbinder dem så är enbart sant om både P och Q är sant.

P Q
S S S
S F F
F S F
F F F

b) Samma metod som i a-uppgiften:

R S
S S S
S F F
F S F
F F F

c) Samma metod som i a- och b-uppgiften:

R Q
S S S
S F F
F S F
F F F

eller – disjunktion

En disjunktion är ett sammansatt påstående som bildats med hjälp av operatorn “eller”. Om vi tittar på sanningsvärdet för en disjunktion så ser det lite annorlunda ut än för operatorn “och”. Det är inte lika “tuffa regler” för att sanningsvärdet ska vara sant. Det beror på att operatorn “eller” ger två alternativ till att det sammansatta påståendet ska vara sant. Låt säga att vi ska förespå hur det kommer att gå i fotbollsmatchen mellan Djurgården och Kalmar FF. Om vi säger att “Djurgården eller Kalmar FF vinner”, så kommer påstående att vara sant oavsett vem som vinner (förutsatt att det inte blir oavgjort). Det är bara när båda påståendena är falska som disjunktionen är falsk t.ex. vid oavgjort då ingen vinner.
Sanningstabellen för operatorn eller ser därför ut såhär:

P Q
S S S
S F S
F S S
F F F
Exempel 3

Tolka nedanstående påståenden:
P: Målningen är röd
Q: Målningen har svarta prickar
R: Målningen är grå
S: Målningen har vita prickar

a)   b)   c)


a) Här har påstående P och Q kombinerats med operatorn “eller”. Vi börjar med “målningen ä röd” lägger till ordet eller och sedan skriver vi ut påstående Q. Alltså:
“Målningen är röd eller har svarta prickar”

b) Se a-uppgiften. “Målningen är grå eller röd”

c) Se a-och b-uppgiften. “Målningen har svarta eller vita prickar”

Svar: a) “Målningen är röd eller har svarta prickar”   b) “Målningen är grå eller röd”   c) “Målningen har svarta eller vita prickar”

Exempel 4

Skapa en sanningstabell för följande påståenden
a)   b)
c)


a) Här delar vi först upp varje enskilt påstående för sig, sedan bildar vi en kolumn för det sammansatta påståendet inom parentesen och till sist en kolumn för det hela sammansatta påståendet med alla tre satserna.

P Q R
S S S S S
S S F S S
S F S F S
S F F F F
F S S F S
F S F F F
F F S F S
F F F F F

b) Här gör vi precis som i a-uppgiften, men lägger också till en kolumn för påståendet . Det är lätt att fylla i S och F i denna kolumn då påståendet är motsatsen till Q, alltså är Q sant så är falskt, och tvärtom.
Återigen så är det ett “eller” som sammanfogar och så därför är sant i de fall då åtminstone en utav satserna sanna, annars är det falskt.

P Q R
S S S F S S
S S F F S S
S F S S F F
S F F S F F
F S S F F S
F S F F F F
F F S S F S
F F F S F F

c) Vi upprepar metoden från a- och b-uppgiften, men var dock uppmärksamma på att innehåller ett “eller” och detta sammansatta påstående sammanfogas med R med konjuktionen “och”.
är sant så länge antingen P, Q eller båda är sanna.
å andra sidan är enbart sann om både och R är sanna.

P Q R
S S S S S
S S F S F
S F S S S
S F F S F
F S S S S
F S F S F
F S S S S
F F F F F

icke – negation

Med en negation menas att man negerar ett påstående. Negationen bildas av operatorn “icke”. Detta innebär att om vi har ett påstående P: Frida är glad, så skulle negeringen betyda “Frida är inte glad”. Detta innebär att när P är sant så är falskt och tvärtom; när P är falskt så är sant.
Sanningstabellen ser alltså ut såhär:

P
S
F
F
S
Exempel 5

Tolka nedanstående påståenden:
P: Mats ger Stina ett halsband i present
Q: Mats ger Stina ett armband i present
R: Mats ger Stina en bok i present

a)    b)    c)    d)


a) “Mats ger Stina ett halsband och en bok i present”
b) “Mats ger Stina ett halsband och ett armband i present”
c) “Mats ger inte Stina ett halsband och ett armband i present”
d) “Mats ger inte Stina ett halsband och inte ett armband i present”

Exempel 6

Skapa en sanningstabell för följande påståenden
a)    b)    c)


a) Börja med att göra en kolumn för respektive påstående. Därefter ser vi att det sammansatta påståendet innehåller en negation, nämligen och även denna får en egen kolumn. Slutligen gör vi en kolumn för hela det sammansatta påståendet.
Sedan är det bara att fylla i de olika möjligheterna, börja med P och Q; en kombination är “P är sant och Q är sant”, en annan är “P är sant och Q är falskt” osv. Då de är klara fortsätter vi med vars värden fås genom att titta på Q-kolumnen. är ju motsatsen till Q så är Q sant är falskt och tvärtom.
Slutligen tittar vi på det sammansatta påståendet som är sammankopplat med ett “och” och är därmed bara är sant då både P och är sanna.

P Q
S S F F
S F S S
F S F F
F F S F

b) Upprepa metoden i a-uppgiften. Påståendet inuti parentesen får en egen kolumn för att vi ska kunna bedöma dess värde innan negationen sätts till. För att avgöra huruvida är sant eller falskt så tittar vi på värdena för antar motsatta värden.

P Q
S S S F
S F F S
F S F S
F F F S

c) Upprepa samma metod som i a- och b-uppgiften. Det sammansatta påståendet i denna uppgift innehåller två negationer och som också får varsin kolumn och deras värden är de mosatta till värdena för P respektive Q i tabellen.
slutligen ser vi att det sammansatta påståendet endast är sant om båda negationerna är sanna eftersom de binds samman med ett “och”.

P Q
S S F F F
S F F S F
F S S F F
F F S S S

om…så – implikation

Exempel 7

Formulera påståendena P och Q så de kan uttryckas med implikationen .
a) Om det inte är mulet så äter Tobias glass
b) Om inte Fredrik är pigg så blir han lätt arg
c) Om Sofia inte gör läxan i tid så blir hon stressad


a) Denna mening består av två satser, nämligen “det är inte mulet” och “Tobias äter glass”. Påståendena kan då formuleras som P: Det är mulet, S: Tobias äter glass. Påstående P fås genom att det sammansatta påståendet även innehåller en negation. Hade vi sagt att P: Det är inte mulet, så hade negationstecknet gjort att meningen blivit “Det är mulet” eftersom vi nekar att “det är inte mulet”.

b) Även här har vi två satser, P: Fredrik är pigg, S: Fredrik blir lätt arg. Precis som ovan måste vi ta hänsyn till negationen och alltså formulera påstående P som motsatsen till vad som står i det sammansatta påståendet.

c) Samma tankegång som i a- och b-uppgiften. P: Sofia gör läxan i tid, S: Sofia blir stressad

Svar: a) P: Det är mulet, S: Tobias äter glass   b) P: Fredrik är pigg, S: Fredrik blir lätt arg   c) P: Sofia gör läxan i tid, S: Sofia blir stressad

Exempel 8

Skriv följande implikationer med de givna påståendena.
P: Lina springer
Q: Lina blir andfådd
R: Lina är otränad
S: Lina vilar

a) Om Lina springer så blir hon andfådd     b) Om Lina blir andfådd så är hon otränad
c) Om Lina inte springer så vilar hon


a) Här ser vi att implikationen består av satsen P och satsen Q. Vi skriver först satsen P “Lina springer” och sedan satsen Q “Lina blir andfådd”. Pilen mellan P och Q Lägger till “om” innan P-satsen och “så” innan Q-satsen.
b) Här tänker vi likadant som i a-uppgiften, men använder påstående Q och R istället.
c) Även här ska “pilen” användas mellan de båda påståendena, men notera att första satsen “Lina springer” innehåller ordet “inte”, en negation. Negation skrevs ut som och denna sätts in framför P så vi får “Lina springer inte”. Därefter skriver vi ut P, pilen och sedan Q.

Svar: a)     b)     c)




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Carl Moller
    5 maj 2013 @ 20:28

    Exempel 5, svaret till fråga b ska vara “Mats ger Stina ett halsband men inte ett armband i present”.