Gud har skapat de naturliga talen. Resten är människans verk.

-Leopold Kronecker

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte A - Geometri


Vinklar

Olika sorters vinklar

Man mäter vinklar och vridningar i grader, och det hela bygger på att en vridning ett helt varav är 360 grader, 360°. Genom att utgå ifrån detta så kan vi konstatera att ett halvt varv är 180° och ett kvarts varv 90°. Den vinkel som är 90° kallas för en rät vinkel. Denna vinkel markeras med en hake enligt figuren till höger.
Exempel på olika vinklarDär ser vi även att de vinklar som är mindre än 90° kallas för spetsiga vinklar, och de som är större än 90° kallas för trubbiga vinklar.

I figuren längst ner är de båda linjerna L1 och L2 parallella. Detta gör så att vinklarna a1, a2 och c1 är lika stora. Man säger att vinklarna a2 och c1 är alternatvinklar, medan vinklarna a1 och a2 kallas för likbelägna vinklar.

Summan av vinklar i månghörningar

Då man lägger ihop alla vinklar i en triangel blir summan alltid 180°.

Summan av vinklar i triangel

Summan av vinklarna i en triangel är 180°.

Regeln ovan är ganska enkel att konstatera om vi tittar på bilden här nedan:

Summan av vinklar i triangel

Kika på det övre hörnet med den röda cirkeln. Den röda cirkeln visar att en cirkel är 360°. Om vi drar en linje genom hörnet där den röda cirkeln är så ser vi att utrymmet ovanför blir en halvcirkel. Halvcirklar är detsamma som 180° (360°/2). Det innebär att vi har 180° kvar nedanför linjen för att det totalt sett ska bli 360°.
Det är vinkeln c som, tillsammans med a och b, utgör de resterande 180°. a och b uppe i det övre hörnet är lika stora som a respektive b i triangeln, alltså är summan av vinklarna i en triangel ALLTID 180°.

Nästa regel är:

Yttervinkeln är summan av de två motstående inre vinklarna.

Yttervinklar hos triangel

Denna är också enkel att bevisa. Tänk er en likadan röd ring som i det övre hörnet, fast placera den i det nedre högra hörnet istället. Utrymmet under linjen vid hörnet b blir 180°, och därmed vet vi att vinklarna b och d tillsammans är 180°. Vi vet också sedan innan att vinklarna b, c och a tillsammans är 180°. Då kan vi säga att vinklarna c och a tillsammans utgör summan på vinkeln d.

Exempel 1

Bestäm vinkeln u.
Räkneexempel på vinklar i triangel


Enligt regeln ovan så vet vi nu att summan av de tre vinklarna i en triangel är 180°.



Svar: Vinkeln u=50°.

Exempel 2

Bestäm vinkeln u.
Räkneexempel på vinklar i triangel


Denna uppgift kan vi lösa på två sätt.

Det allra enklaste är att nyttja formeln a+c=d vilket ger:

Men det går också att räkna ut genom att man först bestämmer vinkeln på det tredje hörnet, vi kallar det för x, genom:
Räkning på vinklar Summan av de tre vinklarna ska ju bli 180°.

Vi vet också att summan av u och x ska bli 180°. Vi får då fram u genom att dra bort vinkeln x från 180°.
Räkning på vinklar

Svar: Vinkeln u=153°.

Av dessa två lösningar rekommenderar jag den första lösningen eftersom den är smidigare och innehåller färre uträkningar vilket minskar risken för fel :) Men det är absolut inte fel att räkna som det andra sättet, det viktigaste är att man hittar det sätt som passar en bäst!

Bisektris och normal

Bisektris till en vinkel kallas den linje som delar en vinkel i två lika stora delar. Man kan rita ut den med hjälp av en gradskiva då man mäter vinkeln och markerar för halva. Har man en 180 graders vinkel, delar den på mitten så får man två 90 graders vinklar. Denna linje kallas för normal till den ursprungliga linjen. Normalens fotpunkt är den punkt där normalen skär den givna linjen. Här i figuren ser vi att L1 och L2 är normaler till varandra och P är fotpunkten.
Bisektris Normal

Likbenta trianglar

Då en triangel har två lika långa sidor säger man att den är likbent. Detta innebär att den tredje sidan kallas för triangelns bas och dess vinklar kallas för basvinklar. Basvinklarna i sådana här trianglar har den finurliga egenskapen att de är lika stora, vilket ofta underlättar räkningen med vinklar.

En likbent triangel har lika stora basvinklar
eller
En triangel med lika stora basvinklar är likbent.

Exempel 3

Nedan syns en likbent triangel, bestäm vinkeln u.
Exempel på likbent triangel


Uppgiften säger att triangeln är likbent vilket innebär att de båda basvinklarna är lika stora. Det gör alltså inget att vi bara har fått reda på en vinkel, då den okända vinkeln utan bokstavsbeteckning är lika stor som den angivna. De båda basvinklarna är alltså 73° vardera.
Liksom innan så vet vi att summan av de tre vinklarna ska bli 180°, alltså:
Räkneexempel på likbent triangel

Svar: Vinkeln u är 34°.

Liksidiga trianglar

Liksidiga trianglar är ännu lättare att handskas med; där är alla sidor lika långa och därmed är alla vinklar lika stora.

liksidig-triangel

Strecken genom vinklarna är bara ett sätt att märka upp de vinklar som är lika stora.

Sidorna i en liksidig triangel är lika långa och därmed är även alla vinklar lika stora.

Exempel 4

Hur många grader har varje hörn i en liksidig triangel?


Då de tre vinklarna i en liksidig triangel är lika stora och vinkelsumman i en triangel alltid är 180° så behöver vi bara dela 180 med 3 för att få svaret:

Svar: Varje hörn har en vinkel på 60 °.




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Burhan
    29 april 2010 @ 18:58

    The best site

  2. henke
    11 maj 2010 @ 19:56

    Tack tusen gånger om! bästa tipsen!

  3. oggebooi
    11 maj 2010 @ 22:28

    love youu

  4. Sara
    20 maj 2010 @ 14:10

    fyfan vad bra!

  5. Osman
    8 juli 2010 @ 0:06

    gud vilken bra hemsida :) the best siteeee

  6. Ebrahim
    26 augusti 2010 @ 2:01

    fan vad bra nu förstår allting ::)

  7. Tawfiq
    5 september 2010 @ 0:22

    Mycket bra Nu får jag MVG eller VG i Matte A

  8. Oussama
    11 september 2010 @ 21:55

    fan va bra nu kommer ja få bra i matte

  9. Sisaw
    29 november 2010 @ 23:29

    Fy! så bra rådgivning! tusen tack!

  10. torres
    30 november 2010 @ 22:57

    jag tycker att den här hemsidan är urmärkt!!

  11. petter
    21 januari 2011 @ 18:06

    vilken tung hemsida

  12. yasmine
    1 februari 2011 @ 20:07

    shiiit! bästa sidan någonsin! TACK TACK TACK OCH TACK!

  13. Abdi
    3 september 2011 @ 22:55

    bra sida bre

  14. Zahra
    6 oktober 2011 @ 14:32

    ååhhhh tack så mkt ! nu fattar jag allt vi hade den här precis idag ! hoppas jag får mvg på den kommande prov ! :D

  15. khaalid
    9 november 2011 @ 20:33

    Waaw. Det här e perfekt informationen som man kan hitta på sajt

  16. hihi
    3 december 2011 @ 18:17

    fett bra sait asså! jag rekomenderar verkligen denna sida!! :) ^^

  17. haha
    3 december 2011 @ 18:18

    sjukt bra sait! MVG här kommer vi!! :D :D

  18. Selhadin
    15 december 2011 @ 9:03

    Tack…..

  19. Cornelia
    16 januari 2012 @ 16:24

    nästa – A+++++++++ :D DDDDDDDD

  20. Khazan Sardar
    7 februari 2012 @ 13:03

    tusen tack för denna sida, det förenklar mycket för mig.

  21. Mohammed Amiri
    28 mars 2012 @ 18:38

    tak så jävla myket.

  22. Ibrahimi Rashad
    16 april 2012 @ 18:50

    Man får mycket jälp av denna sida.Tack :-)

  23. Andre Bagher
    18 april 2012 @ 8:12

    Tack, hjälpte mig unför nationella i matte!

  24. Akram Elshaia
    21 april 2012 @ 9:23

    what?

  25. kära medresenärer | inyourfejs
    16 november 2012 @ 1:53

    [...]   för några dagar sen åkte jag kollektivt genom staden, och möttes då av ohämmade sexuella frestare! (vad jag tolkade som – gäller alla personer i den här texten) cismän som uppenbarligen hade något jättestort osynligt mellan knäna för de SÄRADE SÅ MYCKET PÅ BENEN ATT BYXORNA SKAR IN I SKREVET SÅ DET VAR O M Ö J L I G T ATT INTE FRESTAS TILL ATT TITTA. jag satt på en av sex platser, med en ciskvinna till höger om mig, en cisman till vänster, en cisman mitt emot mig, med en kvinna på var sin sida om honom. SAMTLIGA ciskvinnor satt vända in mot väggen, bort från mittenplatserna (cismännen och jag), med benen tätt sammantryckta. Samtliga cismän bresade så mycket på benen att deras fötter nästan skapade en 90 graders rät vinkel. [...]

  26. Matilda Jansson
    28 februari 2013 @ 18:55

    hjälpte mig med matten

  27. Pontus Nordqvist
    24 december 2013 @ 23:11

    Tack! :)