Matematik är som kärlek - en enkel idé, med det kan bli komplicerat.

-Okänd

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte B - Linjära samband


En linjes ekvation

k-form

Det är dags att lära sig hur man skriver upp en ekvation för en linje. Denna ekvation sägs vara skriven i k-form.

y = kx + m är en linjes ekvation i k-form. k är linjens riktningskoefficient och m är y-koordinaten för linjens skärning med y-axeln.

Exempel 1

En rät linje skär y-axeln i punkten och har riktningskoefficienten 2. Vilket samband gäller mellan koordinaterna för en godtycklig punkt på linjen?


Vi sätter in de värden vi har i formeln för k:

är alltså ekvationen och sambandet för linjen.

Svar: Sambandet mellan x- och y-koordinaterna är .

Exempel 2

Rita linjen med ekvationen .


Då vi vet att m=3 så kan vi också säga att linjen går igenom punkten , stället där linjen skär y-axeln.
Om vi sedan går 2 steg åt höger och sedan 3 steg neråt så får vi en ny punkt på linjen. Därefter är det bara att dra en linje genom de båda punkterna.

Linjära samband

Enpunktsformeln

Om vi vill bestämma en linjes ekvation i k-form och bara har riktningskoefficienten och en punkt given så kan vi använda oss av enpunktsformeln.

där vi vet värdet på k och punkten

Exemplet finns även som videoundervisning >>

Exempel 3

En linje har riktningskoefficienten 1,5 och går genom punkten .


Bestäm linjens ekvation i k-form. Vi sätter in de värden vi har i formeln .

Svar: Linjens ekvation är .

En linje genom två punkter

Exempel 4

Linjära sambandEn rät linje passerar genom punkterna och . Bestäm ekvationen för linjen.


Först räknar vi ut k.

För att räkna ut m så sätter vi in en av punkterna i ekvationen .
Ex. punkten

Detta ger oss ekvationen .

Svar: Linjens ekvation är .

Allmän form

Då vi skriver en ekvation för en linje i allmän form så skriver vi helt enkelt om ekvationen så att vi får 0 på höger sida.

Exempel 5

Skriv ekvationerna och på allmän form.



Flytta över alla termer på vänstersidan och skriv konstanten sist i VL:

Flytta över alla termer på vänstersidan och skriv konstanten sist i VL:

För att få bort nämnarna så kan vi multiplicera alla tal med 15. 15 är det minsta talet som både kan delas med 3 och 5.

15 delas med 5 och kvar blir 3·4. 15 delas med 3 och kvar blir 5·1.

Svar: och

Varje ekvation på formen Ax+By+C=0, där A, B och C är givna tal och B ≠ 0, kan skrivas i formen y = kx + m och är därför ekvationen för en rät linje.

Då vi ska rita linjer i allmän form så är det ofta bra att bestämma skärningspunkterna med koordinataxlarna.

Exempel 6

Rita linjen med ekvationen och skriv ekvationen på k-form.


För att kunna rita upp linjen behöver vi 2 koordinater. Förslagsvis kan vi välja koordinaten där x=0 och koordinaten där y=0. Om du sätter att x=0 så kan du lösa ut vad y har för värde i den punkten och tvärtom:

x=0 ger

y=0 ger

Exempel på allmän form 2Nu har vi räknat ut koordinaterna för de två punkter där linjen skär koordinataxlarna, nämligen punkterna och . Då återstår det bara att pricka in de två punkterna i koordinatsystemet och dra en linje genom dem.

Vi skulle även skriva om ekvationen i k-form:

Svar:

Parallella linjer

Två linjer är parallella om dem har samma riktningskoefficient eller båda är parallella med y-axeln.

Exempel 7

Bestäm konstanten a i ekvationen så att motsvarande linje är parallell med linjen .


Vi skriver först om dem båda ekvationerna i k-form.


och

Då två linjer är parallella så har de båda samma k-värde. I och med det kan vi sätta respektive ekvations uttryck för k att de är lika med varandra:

På så vis har vi fått en ekvation där vi kan räkna ut konstanten a.
Då x finns i täljaren i både HL och VL så kan vi dividera bort det:

Flytta över fyran till andra sidan så att den hamnar i täljaren i HL:

Svar:




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Evy
    14 maj 2010 @ 0:44

    I exempel 4 är första koordinaten fel – det står (0, 3) istället för (0, -3) vid typ två ställen.

  2. Tobias
    14 maj 2010 @ 11:28

    Tack Evy, nu är det felet åtgärdat.

  3. Johan
    17 maj 2010 @ 0:27

    I exempel 2 står det m=2. Det ska vara m=3, och hela exemplet behöver då göras om.

  4. Tobias
    17 maj 2010 @ 6:39

    Sådär, nu ser exempel 2 bättre ut också. Tack Johan.

  5. viktor
    18 maj 2010 @ 1:02

    i exempel 4, i meningen:För att räkna ut m så sätter vi en en av punkterna i ekvationen. ved menar du med “en en”? ska det vara: “in en” kanske?

  6. Tobias
    18 maj 2010 @ 10:50

    jo, självklart

  7. Narin
    29 juni 2010 @ 23:54

    I exempel 2, står det y = (3/2) + 3 i stället för y = -3/2x + 3 . Hur så?

  8. Tobias
    30 juni 2010 @ 0:39

    Det är ett misstag. Ska rätta till texen i bilden nu.

  9. Sarah
    2 juli 2010 @ 0:02

    Exempel 6.
    Om man löser ut K med hjälp av koordinaterna (0,8/5) och (-8/3,0) så blir K=-0,6. Där emot är 3/5=0,6. Hur kommer det sig?
    Tack för en underbar sida, den är väldigt hjälpsam!

  10. Tobias
    5 juli 2010 @ 6:53

    Hej Sara.
    Om man löser ut K med hjälp av koordinaterna (0,8/5) och (-8/3,0) så blir K=0.6, inte -0.6

  11. N
    28 juli 2010 @ 14:35

    Nämnarna har nog glömts att ta bort på exempel 5, innan svaret räknats ut! :) När 15 delas med 5 osv alltså.

  12. Tobias
    28 juli 2010 @ 15:03

    Hej N.
    Det du säger stämmer. Jag har åtgärdat felet.

    Tack!

  13. Simon
    9 augusti 2010 @ 2:02

    Har nu fixat en del kvarvarande punkter efter att Tobias har varit och pillat. Jag har också städat lite i LaTeX:en, det skadar aldrig ;)

  14. Anders
    11 september 2010 @ 15:24

    Hej, i exempel 2 fattas ett minus tecken i ekvarionen precis ovanför grafen. Står y=(3/2)x+3, borde vara y=-(3/2)x+3

  15. Tobias
    11 september 2010 @ 18:07

    Hej Anders.
    Nu är det fixat.

    Om du fortfarande ser fel funktion så beror det på webbläsarens cache. Att uppdatera sidan borde göra susen.

  16. Anna
    20 oktober 2010 @ 16:25

    Hej jag undrar hur räknar man ut k-värdet om det går en linje genom tre eller mer punkter? Tacksam för svar!

  17. Oscar
    21 oktober 2010 @ 17:30

    Anna:
    Om alla punkter ligger på samma linje så är det ju bara välja två punkter. lutningen är samma över hela linjen.

  18. nea
    7 februari 2011 @ 18:46

    hej jag har ett matte tal som jag inte fattar riktigt.

    ange en ekvation för linjen genom (3,6) då k=5

    snälla hjälp mig

  19. niklas
    10 februari 2011 @ 23:13

    Du har råkat skriva till “,5″ efter ettan i exempel 3.

  20. Tobias
    11 februari 2011 @ 6:59

    @niklas:
    Hej. Nej exempel 3 är rätt.

  21. Nemo
    15 mars 2011 @ 19:34

    i exempel 3 så fattar jag inte de två sista uträkningarna,
    y-2=1,5x-1,5 –> y=1,5x + 0.5 jag begriper inte hur 2 försvan och hur + 0.5 uppstod.

    Snälla hjälp mig :)

  22. Simon
    16 mars 2011 @ 21:05

    Det är så man räknar i ekvationer. Vi har tagit +2 i både vänster och höger led :)

  23. Joar
    26 april 2011 @ 22:35

    I exempel 6 förstår jag inte varför 3x/3 = -8/3 y = -8/3. Ska det inte vara x = -8/3?

  24. Patrick
    25 juli 2011 @ 12:25

    I Ex:6 finns följande ekvationsberäkning

    -5y+8 = 0
    -5y = 8

    om man flyttar över en konstant ska man väl byta från + till – ?
    Dvs:

    -5y+8 = 0
    -5y = -8

  25. Patrick
    25 juli 2011 @ 12:32

    Rättelse:
    I ert exempel blir
    -5y+8=0
    5y=8

    Samtidigt som

    3x+8=0
    3x=-8

    Finns det alltså något samband med att -5y blir positiv 5y och +8 förblir +8 när den flyttas över?

  26. Simon
    3 augusti 2011 @ 12:09

    Nej inte direkt på det sättet du får det att låta. I ekvationen med 5y så har vi helt enkelt tagit +5y i båda led. Man måste inte nödvändigtvis flytta över konstanterna, man kan lika gärna flytta runt alla x och y mellan höger och vänster led. :)

  27. Tresura
    7 december 2011 @ 14:33

    Hej!
    Du har rätt Joar att det ska vara x=-8/3 och inte y=-8/3, annars blir det två y koordinater istället för en y- och en x koordinat.

    Hälsar

  28. ZigmA
    18 januari 2012 @ 11:30

    Jag fattar inte riktigt Exempel 2:
    “Om vi sedan går 2 steg åt höger och sedan 3 steg neråt så får vi en ny punkt på linjen.”
    Varför går man just 2 höger/3 neråt? Har det med -(2/3)x i ekvationen att göra?

  29. Bobby Wolski
    17 februari 2012 @ 9:37

    kalas för elever som behöver ytterligare förklaring

  30. Abdulahi Ali Abdi
    20 februari 2012 @ 19:42

    fuck

  31. Douglas Redman
    10 september 2012 @ 17:45

    Under exempel 6 så ska det inte vara y = -8/3 utan det skall stå x = -8/3 eftersom y = 0 i den punkten

  32. Douglas Redman
    10 september 2012 @ 18:06

    i exempel 7s beskrivnings så står det "Bestäm konstanten a i ekvationen så att motsvarande linje är parallell med linjen ." Men de glömde skriva in den sista linjens ekvation som är " X + 5Y + 1 = 0 "

  33. Saima Batool
    15 november 2012 @ 16:44

    Kurvan y=x2+A, där A är en konstant, går genom punkten(2;7). Bestäm ekvationen (på formen Y=kx+m) för en tangent till kurvan i punkten(2;7).
    hur att lösa det här,, kan någon detta?

  34. Sami Osman Ahmed
    3 december 2012 @ 22:06

    då vi ersätta (2,7) i ekvation så fick vi 7= 2.2 +A
    A = 7-4 =3
    y= 2x + 3

  35. Jenny Resander
    1 mars 2013 @ 20:30

    Hej har ett Y som är 7 och ett ett X som är 2. Hur räknar man ut K? K=Y2-Y1/X2-X1. Problemet är att man har ett X och ett Y. Går formeln att använda eller måste man byta formeln? Kan inte få ut mer X eller Y på grund av tre mätningar som jag har tagit ut medelvärdet på att fått en punkt för X och en punkt för Y. Har inte linjen och det är den jag vill rita in tillsist.

  36. Agneta Boija
    2 mars 2013 @ 13:59

    Jag var sjuk på den lektionen.