Matte C - Funktionsstudier
Funktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata
Då vi ska studera en funktion lite närmare så kan vi använda oss av derivatan. En situation är t.ex. då vi vill veta om funktionen har en eller flera lokal maximi- eller minimipunkter. Det speciella med dessa extrempunkter är att lutningen, alltså derivatan, i just de punkterna är lika med noll. Den är noll eftersom det är just i dessa punkter som vändningen sker. Ta till exempel funktionen:
Då derivatan var lika med noll hos extrempunkterna så sätter vi att f’(x)=0 och löser sedan ut x.
Nu vet vi att det finns två extrempunkter, en som har x-koordinaten -1 och en som har x-koordinaten 1. För att ta reda på om punkterna är maximi- eller minimipunkter så ska vi göra ett teckenschema.
Teckenschemat ovan visar att då x är lika med -1 eller 1 så är derivatan lika med noll. Då vi ska ta reda på om det är maximi- eller minimipunkter så måste vi kolla lutningen innan och efter dessa punkter. Vi tar då x-värden som är före, mellan respektive efter de båda punkterna där derivatan är lika med noll. Vi börjar med att ge ett värde på -2 och sätter in det i den deriverade funktionen. Sedan sätter vi x=0 och x=2.
Då x=-2 får vi svaret -18, och -18 är ju mindre än noll, alltså blir det negativt i teckenschemat nedan. Däremot får vi svaret 6 då x=0, 6 är större än noll, alltså blir det positivt.
Nu kan vi se ganska tydligt att punkten där x=-1 är en minimipunkt då lutningen först går nedåt och sedan vänder och går uppåt. Tvärtom är det hos x=1 som är en maximipunkt. Här går det först uppåt och sedan neråt.
Om vi vill veta y-koordinaterna för dessa punkter så sätter vi in x-värdena -1 och 1 i den ursprungliga funktionen:
Här ser ni grafen med de båda extrempunkterna:
Terrasspunkter
Terrasspunkter är ett uttryck man använder då man ser att det inte sker någon vändning i punkten där derivatan är noll. Det innebär att om man ser att funktionen är växande på båda sidorna eller avtagande på båda sidorna så är den en terrasspunkt.