Matte D - Trigonometriska funktioner


Derivatan för sin(x) och cos(x)

Vinkelenheten radian

Radianer är en annan enhet man använder sig av då man arbetar med enhetscirkeln. Enheten är oftast att föredra då den har en unik koordinat i enhetscirkeln, vilket gör att man slipper leta efter andra lösningar. Ett varv, alltså 360°, är 2 pi, vilket innebär att ett halvt varv, 180°, är pi. Det finns en hel tabell över olika radianer i formelböcker.

och 1 rad

Cirkelsektorns area

cirkelsektorHär nedan ser vi formlerna för cirkelbågens längd och area. I bilden till höger ser vi cirkelsektorn OCP, som begränsas av radianerna PO och CO samt cirkelbågen PC. Sektorns medelpunktsvinkel är v radianer. Då medelpunktsvinkeln är 1 radian så vet vi att cirkelbågen har samma längd som radien.

Cirkelbågens längd:

Cirkelsektorns area:

Exempel 1

Bestäm cirkelbågens längd och cirkelsektorns area i en cirkelsektor med radien 2 dm och medelpunktsvinkeln 2 radianer.


Vi sätter in våra värden v=2 och b=2.

Cirkelbågens längd:

Cirkelsektorns area:

Svar: Cirkelbågens längd är 4 dm och cirkelsektorns area är 4 dm2.

D(sin x) och D(cos x)

Då vi ska derivera sinus eller cosinus så gäller dessa regler.

om vinkeln anges i radianer.
om vinkeln anges i radianer.


står för “derivatan av”.


Exempel 2

Bestäm derivatan
a)     b)     c)     d)


a) Enligt regeln ovanför exemplet så är derivatan av sin x, cos x. Tvåan låter vi bara stå kvar.

b) Då vi deriverar 3:an så försvinner den ju bort precis som i vilket uttryck som helst. Då återstår bara derivatan av sin x som ju är cos x.

c) Även här låter vi 4:an vara då den ”sitter ihop” med cos x i en division. Derivatan av cos x blir sedan – sin x.

d) 1:an försvinner bort direkt vi deriveringen. När vi deriverar cos x får vi ju normalt –sin x, men titta noga på vilket tecken som står framför cosinus. Det blir alltså dubbla minustecken vilket gör att sin x blir positivt. 2:an är ju multiplicerad med cosinus så därför låter vi den stå kvar.

Svar: a) b) c) d) .

Exempel 3

Bestäm derivatans nollställe. Svara i radianer.
a)    b)


a) Precis som vi har lärt oss tidigare så börjar vi med att räkna ut derivatan för funktionen y. Då vi deriverar x/2 är det lättare att tänka att det står 0,5x för det är samma sak. Det blir lättare att se att x:et ska bort och att det bara ska stå kvar 0,5 eller 1/2. Derivatan av cosinus är som bekant –sin x.

När vi är klara sätter vi att derivatan av y är lika med noll och löser därefter ut x som är derivatans nollställe och därmed vårt svar. För att göra det enklare för mig så valde jag att dela –sin x och -1/2 med -1 för att få bort minustecknet.

Då ni knappar in arcsin0,5 på miniräknaren kommer ni antingen få svaret 30 eller 0,523498…..beroende på om den är inställd på grader eller radianer. Talet 0,523498….. hjälper oss inte så jättemycket när vi ska ge ett ordentligt svar. Vi får istället plocka upp vår lilla formelsamling igen och slå upp den sida där man har gjort en tabell med några exakta värden på sinus, cosinus, tangens, grader och radianer. Om vi kollar där sinus är lika med 0,5 ser vi att det blir pi/6, och detta är ett utav våra svar. Eftersom det finns en sådan lösning för varje varv man snurrar på enhetscirkeln så lägger vi till n*2pi.
Att 2pi=360° är lätt att räkna ut då vi ser i vår tabell att 90° är lika med pi/2.

Av erfarenhet så vet vi nu att om man kikar på enhetscirkeln så ser man att det även finns en supplementvinkel på andra sidan om sinus-axeln. Den får vi normalt fram genom att ta 180° minus den första vinkeln, men eftersom det handlar om radianer så skriver vi 180° som pi istället. Vi gör om pi till sjättedelar genom att multiplicera med 6 både uppe och nere (tänk dig att det står pi/1), sedan blir det mycket lättare att räkna ut vårt andra nollställe.

b) Vi gör likadant här, deriverar funktionen och sätter den till att vara lika med noll och beräknar därefter värdet på x.

Tyvärr är det inte alltid att svaret blir något tal som man kan hitta i tabellen med exakta värden. Då får vi helt enkelt ta och nöja oss med att ge ett avrundat svar på det vi får fram på miniräknaren. Det är viktigt att den är inställd på radianer när du räknar ut arccos!


När vi räknar med cosinus och vinklar så vet vi även att det finns en supplementvinkel till denna vinkel också. Den vinkeln befinner sig på motsatt sida om cosinus-axeln och den är lika stor som den första vinkeln, men den är negativ och betecknas alltså –x. Även här finner du en ny lösning för varje helvarv du snurrar i enhetscirkeln och därför lägger vi till n*2pi.

Svar:
a) och
b)



Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Tips! Få hjälp av en coach inom Derivatan för sin(x) och cos(x) och andra utmaningar inom matematiken. Slå My Academy en signal på 0200 – 58 00 60 eller maila på info@myacademy.se.

  1. Daniel Eriksson
    10 februari 2011 @ 18:09

    Jag tycker att matte är jätte kul. Jag har matte F och jag är 13 år!

  2. Sahand
    18 maj 2011 @ 19:23

    @Daniel Eriksson

    Jag är grymt imponerad!

  3. Mattias Seth
    18 maj 2011 @ 20:12

    Jag tycker matte är hur j*vla tråkigt som helst. Jag har matte D och är 18 år!

  4. Kristian
    22 maj 2011 @ 20:37

    Jag tycker också att matte är jätte kul. Jag har matte ö(ja dom införde det nyss) och jag är 4 år!

  5. Stephen Hawkings
    13 juni 2011 @ 9:41

    @ Daniel Eriksson

    lol

  6. BAhman
    12 juli 2011 @ 8:55

    Jag sog att det är har blivit lite slarvfel i exempel 1
    Istället att stå r=2 står det b=2 fast man ska räkna ut b.