Matte D - Trigonometriska funktioner

Bestäm cirkelbågens längd och cirkelsektorns area i en cirkelsektor med radien 2 dm och medelpunktsvinkeln 2 radianer.

Vi sätter in våra värden v=2 och b=2.

Cirkelbågens längd:

Cirkelsektorns area:

Svar: Cirkelbågens längd är 4 dm och cirkelsektorns area är 4 dm².

Bestäm derivatan
a)     b)     c)     d)

a) Enligt regeln ovanför exemplet så är derivatan av sin x, cos x. Tvåan låter vi bara stå kvar.

b) Då vi deriverar 3:an så försvinner den ju bort precis som i vilket uttryck som helst. Då återstår bara derivatan av sin x som ju är cos x.

c) Även här låter vi 4:an vara då den ”sitter ihop” med cos x i en division. Derivatan av cos x blir sedan – sin x.

d) 1:an försvinner bort direkt vi deriveringen. När vi deriverar cos x får vi ju normalt –sin x, men titta noga på vilket tecken som står framför cosinus. Det blir alltså dubbla minustecken vilket gör att sin x blir positivt. 2:an är ju multiplicerad med cosinus så därför låter vi den stå kvar.

Svar: a) b) c) d) .

Bestäm derivatans nollställe. Svara i radianer.
a)    b)

a) Precis som vi har lärt oss tidigare så börjar vi med att räkna ut derivatan för funktionen y. Då vi deriverar x/2 är det lättare att tänka att det står 0,5x för det är samma sak. Det blir lättare att se att x:et ska bort och att det bara ska stå kvar 0,5 eller 1/2. Derivatan av cosinus är som bekant –sin x.

När vi är klara sätter vi att derivatan av y är lika med noll och löser därefter ut x som är derivatans nollställe och därmed vårt svar. För att göra det enklare för mig så valde jag att dela –sin x och -1/2 med -1 för att få bort minustecknet.

Då ni knappar in arcsin0,5 på miniräknaren kommer ni antingen få svaret 30 eller 0,523498…..beroende på om den är inställd på grader eller radianer. Talet 0,523498….. hjälper oss inte så jättemycket när vi ska ge ett ordentligt svar. Vi får istället plocka upp vår lilla formelsamling igen och slå upp den sida där man har gjort en tabell med några exakta värden på sinus, cosinus, tangens, grader och radianer. Om vi kollar där sinus är lika med 0,5 ser vi att det blir /6, och detta är ett utav våra svar. Eftersom det finns en sådan lösning för varje varv man snurrar på enhetscirkeln så lägger vi till n*2.
Att 2=360° är lätt att räkna ut då vi ser i vår tabell att 90° är lika med /2.

Av erfarenhet så vet vi nu att om man kikar på enhetscirkeln så ser man att det även finns en supplementvinkel på andra sidan om sinus-axeln. Den får vi normalt fram genom att ta 180° minus den första vinkeln, men eftersom det handlar om radianer så skriver vi 180° som istället. Vi gör om till sjättedelar genom att multiplicera med 6 både uppe och nere (tänk dig att det står /1), sedan blir det mycket lättare att räkna ut vårt andra nollställe.

b) Vi gör likadant här, deriverar funktionen och sätter den till att vara lika med noll och beräknar därefter värdet på x.

Tyvärr är det inte alltid att svaret blir något tal som man kan hitta i tabellen med exakta värden. Då får vi helt enkelt ta och nöja oss med att ge ett avrundat svar på det vi får fram på miniräknaren. Det är viktigt att den är inställd på radianer när du räknar ut arccos!

När vi räknar med cosinus och vinklar så vet vi även att det finns en supplementvinkel till denna vinkel också. Den vinkeln befinner sig på motsatt sida om cosinus-axeln och den är lika stor som den första vinkeln, men den är negativ och betecknas alltså –x. Även här finner du en ny lösning för varje helvarv du snurrar i enhetscirkeln och därför lägger vi till n*2.

Svar:
a) och
b)