Jag har aldrig träffat någon matematiker som har varit kapabel till att tänka förnuftigt.

-Sokrates

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte Diskret - Talföljder


Rekursiva talföljder

Rekursivt betyder återkommande eller upprepande. En rekursiv talföljd är med andra ord en talföljd med ett logiskt mönster, ett mönster som hela tiden upprepar sig självt. Vi tittade förut på den geometriska talföljden 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, …

Om vi ville veta a15 så hade vi en formel för att räkna ut detta. Att definiera en talföjd rekursivt innebär att vi använder oss av föregående element för att räkna ut nästa element. T.ex. vi multiplicerar 16 med kvoten 4 för att få nästa tal som är 64. Talföljden ovan kan rabblas upp på grafräknaren genom att man skriver 4, klickar enter och sedan *4 och klickar enter. Därefter behöver man bara klicka enter så räknar grafräknaren ut 16*4, sedan resultatet 64 som multipliceras med 4 osv.

Grafräknare rekursiv talföljd 1   Grafräknare rekursiv talföljd 2

Grafräknare rekursiv talföljd 3   Grafräknare rekursiv talföljd 4

Grafräknaren multiplicerar föregående tal t.ex. 16 med 4 för att få fram 64 och 64*4 för att få fram nästa tal som är 256 osv. Detta är alltså att definiera en talföljd rekursivt.

Matematiskt sett uttrycks detta som:
(första talet i talföljden är 4)
(4:an här är fyran man multiplicerar med och inte fyran som står för a1)

Om vi ersätter n med 5 ser vi att sambandet ger oss

För att få fram talet på sjätte platsen i talföljden måste vi multiplicera talet på femte platsen (=föregående tal) med 4. I och med att vi vet startvärdet (=talet på första plats, i detta fall är det 4) så kan vi i tur och ordning räkna ut a2, a3 osv.

För att definiera en talföljd rekursivt behövs:

  • ett startvärde
  • en formel som anger hur nästa tal beräknas
Exempel 1

Uttryck nedanstående aritmetiska talföljd rekursivt.
3, 10, 17, 24, …


Vi ser att startvärdet, alltså första talet i talföljden, är 3.

För en aritmetiska talföljd är differensen (d) mellan talet konstant. Vi kan därmed beräkna skillnaden mellan två intilliggande tal t.ex. 17och 10:

Vi får alltså nästa element i talföljden genom att addera 7 till föregående tal:

Svar: och

Exempel 2

Ta fram de fyra första elementen i den geometriska talföljden som beskrivs av den rekursiva formeln


Vi har fått både startväärdet och en formel för hur nästa tal beräknas, vilket krävs för att vi ska kunna definiera talföljden. Vi ser att startvärdet är 2 och börjar då med att beräkna talet på andra platsen i talföljden (a2).

Nu när vi har talet på plats två kan vi beräkna talet på plats tre:

Och slutligen, med hjälp av talet på plats 3 kan vi räkna ut det fjärde talet i talföljden:

Svar: De fyra första elementen är 2, 6, 18 och 54.




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer