Jag har aldrig träffat någon matematiker som har varit kapabel till att tänka förnuftigt.

-Sokrates

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte Diskret - Talföljder


Induktion

Som ni säkert vid det här laget har märkt så vilar matematiken på en grund av en massa formler som fungerar i olika sammanhang. Dessa formler är inte slumpmässigt framtagna eller framtagna pga att man har experimenterat sig fram genom en massa beräkningar av olika tal för att se om det gäller för alla.

Nej, de har arbetats fram genom matematisk induktion där man testar att räkna med några tal för att hitta ett mönster och därefter bildar man en formel som gäller för detta mönster och testar den så det stämmer.

Induktionsbeviset bygger på tre steg, nämligen: basfallet, induktionsantagandet (induktionshypotesen) och induktionssteget.
För att ni ska förstå principen så tar vi liknelsen med en stege. Låt säga att vi vill bevisa att vi kan gå hur högt upp på en stege som vi vill.

Exempel induktion

Basfallet. Först måste vi visa att vi kan gå till första trappsteget på stegen, dvs. där .

Induktionsantagandet är att vi antar att vi nu har kommit till trappsteget (a motsvarar vilket tal som helst).

Induktionssteget.När vi står där på trappsteg a måste vi nu bevisa att det går att ta sig till nästa trappsteg efter det dvs. trappsteget .

I basfallet har vi alltså bevisat att vi kan nå första trappsteget () medan induktionssteget säger (om bevisat) att vi kan nå andra steget då detta är nästa steg om man står på det första. När vi sedan nått andra trappsteget så säger induktionssteget att vi kan nå det tredje. När vi står på det tredje trappsteget kan vi nå det fjärde osv.
Med andra ord så kan vi nå hur högt upp på stegen vi vill.

(Om det är lättare att tänka att basfallet är att du står på markplan så kan du säga att där är ).

Vi tar ett exempel med en aritmetisk talföljd:
Förutsatt att n är ett positivt heltal så är summan (S) av talföljden

Summan () då talet är

Vi ska nu bevisa att detta gäller för alla godtyckliga tal.

1. Basfallet
Vi börjar med att bevisa att sambandet stämmer för .
och

Vi sätter in 1 i vänster- respektive högerled för att se så de får samma värde. Insättandet av 1 i vänsterled innebär ju att talföljden endast innefattar talet 1. Alltså VL = 1.
(hade det stått n=2 så skulle vi skrivit 1+2 och vänsterledet hade då varit lika med 3)

Vi sätter in talet i högerled:

Alltså, VL = HL, vänsterled och högerled får samma tal och därmed stämmer det att de är lika med varandra, precis som formeln påstår. Basfallet stämmer.

2. Induktionsantagandet
Här antar vi att satsen stämmer för vilket positivt heltal som helst dvs. heltalet a.

3. Induktionssteget
Här visar vi att satsen gäller för även nästa tal, alltså talet a+1.

Med andra ord är detsamma som summan av talföljden då n=a plus nästa tal som är (a+1):

Skriver vi ut detta med talen får vi:

Vi ska nu bearbeta detta uttryck för att få fram samma utseende som i uttrycket för Sa+1 ovan.
Det första vi gör är att skriva som ett bråktal med nämnaren 2…

…då kan nämligen de båda talen i täljaren slås samman över samma nämnare:

Det vi ser ovan är två multiplikationer (produkter) som adderas till varandra. Den ena produkten är och den andra är . Dessa två produkter har som gemensam nämnare, med andra ord så kan vi bryta ut denna så att vi får kvar a och 2 som adderas till varandra:

Nu ser vi att vi börjar närma oss utseendet i HL. Det vi kan göra är att skriva om till Det är ju samma sak. när det bara är plus och parenteser så är detsamma som
Vi får då:
vilket var utseendet för Sa+1 som ses i början på steg 3.

Exempel 1

Visa med matematisk induktion att .


Vi löser uppgiften genom att följa de tre stegen; basfall, induktionsantagandet och induktionssteget.

1. Basfallet
Vi börjar med att bevisa att sambandet stämmer för . Vi kollar i vänsterled (VL) respektive högerled (HL).

Då VL = HL så stämmer basfallet. Vi går vidare till induktionsantagandet.

2. Induktionsantagandet
Här antar vi att satsen stämmer för vilket positivt heltal som helst dvs. heltalet a.

3. Induktionssteget
Här visar vi att satsen gäller för även nästa tal, alltså talet a+1.

Med andra ord är detsamma som summan av talföljden då n=a plus nästa tal som är (a+1):

Vi har alltså att Sa+1 är lika med både och .

Vi ska alltså bevisa hur vi får till att vara samma sak som .

Vi börjar med att ta bort parentesen i så +1 och -1 tar ut varandra och a blir kvar:

Sedan kan vi ta bort resten av parenteserna då de inte gör någon skillnad när det bara är plustecken:

Om vi tittar noga på talet så ser vi att det uppfyller mönstret för första kvadreringsregeln. Med andra ord är




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Milad Yalda
    22 september 2012 @ 7:09

    hej skulle någon kunna förkalar för mig var kom a upphöjed till 2 ifrån? I exemplet?

  2. Milad Yalda
    22 september 2012 @ 7:09

    hej skulle någon kunna förkalar för mig var kom a upphöjed till 2 ifrån? I exemplet?

  3. Matteguiden
    9 oktober 2012 @ 7:16

    Hej Milad!
    a:et ersatte n:et. Det vi menade var att n:et I formeln motsvarar vilket tal som helst. När vi prövar induktionsantagandet så gör vi det med talet a. :)