En halv är, tänk nu hur främmande, två tredjedelar av tre fjärdedelar.

-Piet Hein

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte F - Integraler


Repetition och Grunder

Inledning

Integrering, eller anti-derivering (anti-derivata) – vilket ni bör kunna vid det här laget, är vad detta kapitel kommer gå ner djupare i. Med mer avancerade integreringsmetoder och exempel. Dessa metoder vi går igenom gås också igenom i de första matematikkurserna på universitet och högskola, så kan man alla dem så har man ett schysst försprång!

En basic integrering:

Detta gäller om , annars kommer vi att dela med 0. Inte bra!
Men om vi har n = -1 då? Jo, då kommer vi ju få:

Eller hur? It’s all good!

Repetition med potenser och roten ur

Några integreringsexempel följer här för att få in er i rätt tänk. Det är ju som sagt, baklänges från derivata så man måste börja tänka om :) Vi tänkte att vi går igenom ett exempel eller två för integrering med de olika baserna, termerna och uttrycken som ni torde ha stött på innan ni kommit hit. Det är alltså lite repetition på det ni borde kunna och borde ha jobbat med innan :)
Vi börjar med lite potenser och roten ur.

Exempel 1

Integrera .


Vi ställer om bråk-termen så vi får bara potenser att jobba med. Sen integrerar vi:

Svar:
Man hade nog kunnat förkorta mer men det är inte säkert att uttrycket blir “enklare” då, så vi valde att stoppa här och svara med det.


Exempel 2

Integrera .


Det går ju inte att bara integrera med roten ur tecken som syns, så de får vi ta bort och ersätta med potenser innan vi integrerar!

Svar: .


Exempel 3

Integrera .


Så vi ställer som vanligt om uttrycket på potensform så vi enkelt kan integrera. Var inte rädd om “dx” står ovanför bråktecknet, det är en faktor som vilken annan som helst – men som försvinner vid integreringen.

Svar: .

Repetition med basen e

Exempel 4

Integrera .


Och precis som med derivering så förändras inte uttrycket speciellt mycket. Det är det som är det fina med basen e. Vi skriver helt enkelt svaret direkt:
Svar:.


Exempel 5

Integrera .


Samma tänk som med derivering med e, så här skriver vi också bara svaret direkt:
Svar: .

Repetition med de trigonometriska uttrycken

Alltså med sinus, cossinus och tangens.

Exempel 6

Dessa är mycket enkla så vi skriver dem mycket kort så kan ni få analysera dem själva:


.


.


.


Här får vi nyttja de trigonometriska reglerna för att ställa om uttrycket lite, annars går det inte att integrera:
.

Repetition på hur man delar upp integraler

Kanske kommer du ihåg att man kan dela upp integraler och integrera var del för sig? Detta för att lättare hålla ordning och undvika dumma slarvfel :)
[rule size="6"][/rule]
Vi visar med ett exempel:

Exempel 7

Integrera .


Så:
.
Här tycker vi nu att det är en bra idé att dela upp talet i två mindre tal för att få bättre kontroll:

Vi kan också flytta ut alla konstanter för att det ska bli ännu enklare att hålla reda på siffrorna vid själva integreringssteget.

Nu är det bara att integrera:

Svar: .




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer