Matematik är som kärlek - en enkel idé, med det kan bli komplicerat.

-Okänd

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte F - Integraler


Variabelsubstitution

Inledning

Då är det dags att gå igenom den första av de två metoderna som vi tänkt introducera här.
Variabelsubstitution är den absolut mest frekvent använda metoden av alla. Så fort ett uttryck blir det minsta svårt så använder man sig av en enkelt substitution så blir problemet kanonenkelt.
Det man har svårt med i början är att byta intervall när man gör substitutionen, men det kommer med lite träning.

Det finns inga formler eller regler för hur man gör detta, utan det är en metod man använder och följer. Vi visar helt enkelt med massa exempel och förklaringar som går parallellt.

Fram tills nu har det sista “dx” som alltid finns med i integraler inte spelat något större roll. Men nu vid denna metod är det extremt viktigt att hålla koll på hur den förändras och utvecklas. Den är en liten nyckelbit som man verkligen inte kan strunta i längre :)

Exempel 1

Integrera .


Denna integral är verkligen inte lätt att lösa i ett nafs. Vi nyttjar därför en enkel variabelsubstitution:
Vi sätter . Vilken del av ekvationen man ska byta ut blir tydligare med träning när man kan se vad som “behöver göras om vi sätter [t = det här] eller [t = det där]“.
Så t är en nyinförd variabel, man kan såklart använda vilken man vill.
Vi deriverar den nya funktionen, varför kommer ni förstå straxt:
Vi kan inte bara helt enkelt “ta bort” x när vi deriverar den. Den blir inte 1 vid derivering eftersom vi inte vet vad x är. t är en egen funktion så den blir inte heller 1 när vi deriverar den. Derivatan av x är dx (eller x’), derivatan av t är dt (eller t’). dx kommer ifrån den inre derivatan vid vårt deriveringssteg.
Eftersom vi nu kommer byta ut alla x i start-integralen till t, så måste vi ju också ändra på intervallen. Detta eftersom start-intervallen är anpassade efter x och inte efter t.
Gamla intervallen x2 = 2 och x1 = -1 insätts i ekvationerna:
blir vår nya undre gräns i intervallet.
blir vår nya övre gräns i intervallet.
Så nu har vi gjort om massor i vår start-integral. Vi gjorde om termerna och intervallen. Vad har vi nu fått?


Jo! Sammanfattningsvis har vi fått:

Där t1 och t2 är de nya gränserna. Med denna sammanfattning kan vi ju nu byta massor med saker ur start-integralen. Vi stryker under de saker som byts ut mot t och dt.

Oj vad enkelt det blev!
Svar:.

Fler blandade exempel

Nu visar vi ett tal som löses med två olika metoder:

Exempel 2

Lös integralen .
a.) Med trigonometriska förenklingar.
b.) Med variabelsubstitution.


a.) Vi börjar att pyssla om en given trigonometrisk formel LINK.


Alltså får vi:


b.) har vi alltså.
Då gör vi vår substitution:

Och i och med det är själva substitutionen klar. Man undrar ofta vilken av tecknen man ska substituera. Det är helt enkelt så att man med träning får ett öga för detta – men i regel så ska man välja att substituera den del som deriveras till en annan del i integralen. Det syns tydligt i substitutionen. Vi valde sin för att den deriveras till cos i själva substitutionen. Man ska eliminera alla termerna man försöker substituera ifrån. Vill vi ersätta x med t så måste vi se till så att vi verkligen ersätter alla x. Har du någon x-term kvar så lovar jag att det kommer bli tok-fel :)
Hursomhelst, den nya ekvationen kommer i alla fall att se ut så här:

Jätte-enkelt! Nice va?


Det här, som med det mesta inom matematiken, lär man sig bäst genom träning.
Vi visar fler exempel:
Exempel 3

Lös integralen .


Vi börjar direkt med substitutionen:

Ekvationen för dt får man ställa om som man vill, så att den passar din integral. x dx fanns ju med i vår start-ekvation så det räcker med att ställa om så långt som vi gjort: så att x dx står självt på en sida om lika-med-tecknet.
Nya integralen:


Eftersom ln 1 = 0, såklart. (Vad ska vi upphöja e med för att få 1? Jo noll.)
Svar: .


Hur gör man om man inte har intervall då? Jo:
Exempel 4

Lös integralen .


Eftersom vi inte har intervall kan vi banta ner texten vi skriver markant. Så här skriver man oftast i det “verkliga livet”:


Och när integreringen väl är klar så återför vi vad t är. Vi stoppar alltså tillbaka t = sin x när vi är klara med integreringssteget :)


Här följer ett exempel som förmodligen blir löjligt jobbigt att lösa på något annat sätt än med substitution:
Exempel 5

Lös .


Substitutionen:

Nya ekvationen:

Vilket är betydligt mycket enklare att lösa än start-integralen. Svaret utelämnas eftersom det är betydelselöst för exemplet.

Lite överkurs

Detta följande tal är lite överkurs (dvs det är lite svårare än det som kommer på prov). Dock tycker jag personligen att det är rätt coolt att kunna integrera tan x, vi menar att derivera tan x är ju ingen konst, men att integrera? Nice!

Exempel 6

Lös .


Vi får först skriva om tan x:

Sedan gör vi vår substitution:

Nya ekvationen:

Svar: Integralen för tan x med dessa intervall är alltså .
Som sagt, lite överkurs. Men det är rätt kul att kunna lösa :)




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Jerker Larsson
    12 februari 2012 @ 20:55

    Många bra exempel

  2. Jerker Larsson
    12 februari 2012 @ 20:55

    Många bra exempel

  3. Ray San
    3 augusti 2012 @ 23:43

    exempel 6 , varför blir t= ln cos X ? t = cos X är inte rätt?