Matematik är vetenskapen där man inte vet vad man pratar om, inte ens om det man säger är sant.

-Bertrand Russel

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte A - Grunder


Tal i bråkform

Tal i bråkform

Många upplever att bråkform är lite klurigare och inte alls lika roligt att räkna med, men i själva verket är det inte alls krångligt. Bara man lär sig det riktigt från början så ska det inte innebära några större problem. Bråkform var inte min favorit när jag var yngre, men nu känner jag att jag verkligen har lärt mig det. Så det borde ni också kunna lära er!

Ett bråktal är egentligen en division mellan två tal, fast man räknar inte ut kvoten t.ex. 3/4 som benämns “tre fjärdedelar”.

När man pratar om bråk och division så brukar man använda orden täljare och nämnare. Täljaren är det tal som står över bråkstrecket alt. divisionsstrecket, och nämnaren är det tal som står under. En bra minnesregel är täljare – tak och nämnare – nere.

Bråktalets utseende

Talet nedanför bråkstrecket står för hur många delar en helhet består av. Som exempel har vi en tårta som kan delas i 4 lika stora delar. Varje del är en fjärdedel och tillsammans bildar dessa 4 delar hela tårtan ().

Bråkform-1

Talet ovanför bråkstrecket antalet bitar av totalt 4 bitar t.ex. vi äter upp tre av bitarna. Detta innebär att vi har ätit tre fjärdedelar av tårtan.

Bråkform-2

Bråktal är att föredra t.ex. när vi hanterar tal som består av oändligt många decimaler. Om vi tar vårt tårtexempel igen. Denna gång har vi delat in den i 3 lika stora delar och 2 av dessa delar äter vi upp. Vi kan säga att vi har ätit två tredjedelar av tårtan () eller 0,666666666666666….. av tårtan.
Hur många decimaler du än anger så kan du aldrig ange exakt hur mycket av tårtan du har ätit. Om du däremot väljer att uttrycka det i bråkform, dvs. , så får du en exakt siffra.

Förlänga och förkorta

Tänk er en vetelängd som delas i åtta lika stora delar. Nisse äter två bitar och han har därmed ätit 2/8 (utläses två åttondelar) utav vetelängden. Det som blir över, alltså 6/8 (sex åttondelar), får hans vänner. Om man skulle gruppera de åtta delarna två och två så ser man att 2/8 är detsamma som 1/4. Detta får man fram när man räknar så här:

I talet ovan har vi dividerat både täljaren och nämnare med 2. Denna metod kallas att förkorta. Det använder man mest då man vill skriva ett bråk i sin enklaste form, alltså så liten nämnare som möjligt. Motsatsen till att förkorta är att förlänga, och det gör man genom att multiplicera täljaren och nämnaren:

Förlängning används ofta då man ska addera, subtrahera eller jämföra två bråk med olika nämnare. Det man är ute efter då är att båda bråken ska få samma nämnare.

OBS!
Det som är viktigt att komma ihåg är att man inte ändrar på bråkets värde då man förkortar eller förlänger det. Värdet förblir alltid detsamma.
Detta kan vi se då och

Addition och subtraktion av bråktal

Då man ska addera eller subtrahera bråk är det viktigt att alla bråktalen har samma nämnare, en gemensam nämnare. En gemensam nämnare kan vi alltid få genom att förlänga det en bråket med det andra bråkets nämnare och vice versa. Om vin använder detta sätt måste vi ofta förkorta det bråk vi räknar fram för att svara i enklaste formen.
Om vi däremot bestämmer den minsta gemensamma nämnaren så slipper att förkorta vårt bråk efter att vi har utfört additionen eller subtraktionen.

Bestämma minsta gemensamma nämnare

Vi har bråktalen och
Att bestämma minsta gemensamma nämnaren bygger på att vi tittar på vilka primtal som bildar de båda nämnarna.
Vi delar upp nämnarna i primtal:

Tanken är att vi ska multiplicera alla de primtal som behövs för att bilda respektive nämnare:
Vi behöver tre tvåor och en trea för att bilda 24 och vi behöver en trea och en femma för att bilda 15. Trean har vi redan skrivit för att bilda 24 så vi behöver bara multiplicera med 5:an också:

Nu när vi vet att mgn = 120 så förlänger vi respektive bråktals täljare och nämnare med lämpliga siffror för att nämnarna ska bli 120:

När båda bråktalen har samma nämnare så är det fritt fram att addera eller subtrahera!

Exempel 1

Här gör vi beräkningarna utan minsta gemensamma nämnaren.
Addition: Beräkna
Subtraktion: Beräkna


Addition:

Vi multiplicerar det första bråket med det andra bråkets nämnare dv.s 15*5 respektive 6*5. Sedan gångar vi det andra bråket med det första bråkets nämnare. Alltså: 8*6 respektive 5*6. Som ni ser får nu båda bråken samma nämnare och vi kan då enkelt plussa ihop täljarna med varandra.

Subtraktion:

Vi repeterar samma steg som för addition, se till så att du får samma nämnare så att du sedan kan dra av 14 från 24.

När vi “förbereder” bråktalen för uträkning så förlänger vi bråken. Det är viktigt att man förlänger täljaren med samma tal som man förlänger nämnaren med.

Exempel 2

Här gör vi beräkningarna med hjälp av minsta gemensamma nämnaren.
Addition: Beräkna
Subtraktion: Beräkna


Addition:

Här ska vi först ta reda på minsta gemensamma nämnaren genom att dela upp nämnarna i primtalsfaktorer. 6 är produkten av primtalen 2 och 3. 5 är redan det minsta primtal som finns. De primtal som ska ingå för att beräkna minsta gemensamma nämnare är de som behövs för att vi dels ska kunna bilda nämnaren 6 och dels nämnaren 5.

Minsta gemensamma nämnaren är 30. För att få nämnaren 6 att bli 30 måste vi multiplicera med 5:an som ju saknas där. För att få nämnare 5 att bli 30 måste vi multiplicera med primtalsfaktorerna 2 och 3 för de saknas ju där.
Därtill, det vi gör nedaför bråktecknet måste vi också göra ovanför bråktecknet så vi hela tiden har samma proportioner mellan täljare och nämnare. Därför multiplicerar vi 15 med 5 och 8 med .

Nu när vi har samma nämnare är det bara att addera täljarna.

Kommentar:I just detta tal så såg vi att det inte spelade någon roll om vi ansträngde oss att räkna ut minsta gemensamma nämnaren då det var den vi fick fram även då vi “bara” multiplicerade nämnarna med varandra som i exempel 1 med samma tal.

Subtraktion:

Vi börjar med att ta reda på minsta gemensamma nämnaren genom att dela upp nämnarna i primtalsfaktorer. 12 är produkten av primtalet 2 (tre stycken) och primtalet 3. 8 är produkten av primtalet 2 (tre stycken tvåor). De primtal som ska ingå för att beräkna minsta gemensamma nämnare är de som behövs för att vi dels ska kunna bilda nämnaren 12 och dels nämnaren 8.

Minsta gemensamma nämnaren är alltså 24. För att få nämnaren 12 att bli 24 multiplicerar vi med 2, för det är tvåan som saknas om man jämför med minsta gemensamma nämnaren där vi ser tre tvåor. Vi multiplicerar även täljaren med 2.
för att få nämnaren 8 att bli 24 multiplicerar vi med 3, trean saknas ju här om vi jämför med mgn-uppställningen. Täljaren i samma bråk multiplicera vi också med 3.
Nu när de båda bråktalen har samma nämnare så kan vi utföra subtraktionen.

Blandad form

När man pratar om blandad form så innebär det att man har blandat heltal och bråkform.
är ett exempel på blandad form. Den utläses “2 hela och 2 tredjedelar”.
“2 hela” kan också skrivas i bråkform. blir det då eftersom är en hel. Ska vi däremot skriva i enbart bråkform får vi göra om till tredjedelar istället och sedan lägga ihop med de andra tredjedelarna:

Ett enklare sätt att tänka är att du bara multiplicerar 2:an med nämnaren på bråket och adderar svaret med den täljare som finns:

2 · 3 är ju 6. Lägg till 6 till täljaren i bråktalet 2/3 så får du 8/3.

Exempel 3

a) Skriv om till bråkform
b) Skriv om till blandad form


a)
Det enklare sättet att tänka: Multiplicera heltalsfyran med nämnaren på bråket. 4 · 4 är 16. Lägg till 16 till bråkets täljare. 16 + 3 = 19. Alltså 19/4.

b)
Då vi delar 12 med 7 så ser vi att 7 går en hel gång. Det som är över är 5 sjundedelar.

Svar: a)     b)

Svara i enklaste formen

När man räknar med bråk så är det lämpligt att alltid skriva svaret i enklaste form. Detta innebär att man skriver bråket så förkortat som möjligt.

Exempel 4

Skriv följande bråktal i dess enklaste form
a)     b)     c)


a)
Både täljaren och nämnaren är jämnt delbara med 8 så vi förkortar bråket med detta tal. Dela täljaren med 8 och få 1, dela nämnare med 8 och få 2. Talen är också jämnt delbara med både 2 och 4, men hade vi använt dem hade det tagit flera steg för att komma till den enklaste formen. Vi hade dock hamnat på samma slutresultat.

b)
Femman är ett primtal och kan alltså bara delas jämnt med sig själv och 1. Vi förkortar därför bråket med 5 och får då 1/6 som enklaste form.

c)
Här är både täljaren och nämnaren jämnt delbara med 4. Då täljaren endast är 4 så sätter den stopp för oss att använda högre tal. Vi kunde också delat med 2, men då hade vi återigen fått göra förkortningen i fler steg.

Svar: a)     b)     c)

Multiplikation och division av bråktal

Här behöver du inte använda dig av förlängning eftersom multiplikation och division inte kräver att bråktalen har samma nämnare. Då man multiplicerar bråktal tar man bara täljaren gånger täljaren och nämnaren gånger nämnaren:

Exempel 5

Beräkna
a)     b)


a)
Enligt regeln ovan så ska vi multiplicera täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Täljarna bildar tillsammans en ny täljare och nämnarna bildar en ny nämnare och vi får ett helt nytt bråktal som i detta fall redan står i sin enklaste form då det inte går att förkorta.

b)
När man ska multiplicera ett heltal med ett bråk så får vi tänkas oss även heltalet som ett bråk. 1/1 är ju 1. Därför är 2/1 lika med 2. Vi skriver alltså 2:an som bråket 2/1. Sedan är det bara att uppreps samma metod som i a-uppgiften. Svaret här blir 10/6, ett bråk som går att förkorta till 5/3 genom att vi delar både täljaren och nämnaren med 2. På så vis får vi svaret i dess enklaste form.

Svar: a)    b)

Då man dividerar bråktal använder man sig av en metod som kallas invertering. När man inverterar så byter man plats på täljaren och nämnaren i bråket som står i nämnaren. Detta gör man för att kunna multiplicera talen och sedan få fram ett svar.

Exempel 6

Beräkna divisionen


Vi skriver de båda bråken så att de multipliceras med varandra istället. Men för att få göra den omskrivning måste vi invertera det bråk som står i nämnaren, alltså vi gör om 1/5 till 5/1. Därefter kan vi i vanliga ordning multiplicera täljarna med varandra och nämnarna med varandra för att få fram ett nytt bråk.

Svar:




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Bengt
    13 juli 2010 @ 0:17

    Exempel 3c Står 4/28 i exemplet. Ska tydligen vara 4/32 i stället.

  2. Tobias
    13 juli 2010 @ 2:08

    Hej Bengt.
    Fixat!

  3. John
    18 september 2010 @ 19:06

    Måste bara säga att detta är en jättebra och enkel förklaring!

  4. Tessan
    10 februari 2011 @ 22:43

    Så otroligt lycklig för denna sida! Tack till alla Er som ägnar all tid och engagemang för att hjälpa mig att göra matte både förståeligt och dessutom roligt! Mera videolektioner! Dem är ovärdeliga! Ni är pedagogiska och ger förklaringar som bidrar till min AHA-upplevelse;-) Så ett stort tack!

  5. Olle
    8 mars 2011 @ 10:59

    Det är dumt att förklara fortkortning genom att dividera täljare och nämnare. Man bör istället faktorisera täljare och nämnare och sen förkorta. Detta underlättar senare när man multiplicerar med bråk eller räknar algebra.

  6. Tobias
    8 mars 2011 @ 11:26

    Det är sant att det underlättar senare. Men det är svårare att lära sig. Därför har vi skrivit som vi gjort.
    Ett överdrivet påstående för att förtydliga min poäng:
    “Man borde inte lära sig additionsmetoden när man löser ekvationssystem utan man borde lära sig gaus-elimitation direkt. Det underlättar när man senare när man ska hitta matrisers invers.”

  7. Kimmen
    10 mars 2011 @ 15:31

    Tack för dessa förklaringar, hjälper bra när man gör läxor med ungarna. Det var ju inte igår man gjorde detta,

  8. Marie
    2 april 2011 @ 22:23

    Hur funkar detta då;
    2/3-1/8 dividerat med 5/9+1/2?
    Räkna ut bråken som vanligt och sen dividera? Fick ett högt konstigt bråk som svar… Osäker.

    Superbra sida!

  9. Patrick
    10 juni 2011 @ 13:33

    Hej (Marie)
    Jag sitter och lär mig matte från grunden, vet inte om jag gjort rätt men jag räknade ut bråket du skrev och fick detta som svar:
    234/456 (var tvungen att använda miniräknare vid sista uträkningen). Vet inte om detta var samma svar som du fick men jag håller med om att det var ett stort/högt (korrekt term?) bråk.

  10. ej snille på matte
    2 september 2011 @ 16:27

    vilken grymt bra hemsida!

  11. Isaq
    2 november 2011 @ 22:06

    Exciting

  12. lolface
    23 november 2011 @ 20:00

    lawl

  13. asfa
    28 november 2011 @ 18:07

    urdåligt !

  14. love
    28 november 2011 @ 20:01

    Hejsan!super bra sida!inte för att jag behöver den men ibland kan det vara trist att hjälpa lilla syrran om det inte vore av denna sida! emmis o jag (klara) tackar.

  15. Anonym
    29 november 2011 @ 18:20

    fattar inget

  16. en lycklig anonmym
    7 december 2011 @ 16:21

    Sjukt stort tack!! har prov snart och fatta inget så leta lite och hitta sidan gudomligt bra!

  17. Dimitris Voglis
    16 februari 2012 @ 13:31

    vet bra sida har prov nästa vecka

  18. Marcus Isaksson
    23 mars 2012 @ 12:24

    tackar!

  19. Marcus Isaksson
    23 mars 2012 @ 12:24

    tackar!

  20. Henrik Samuelsson
    27 mars 2012 @ 12:57

    Dr knoll tackar ödkmjukast

  21. Amir Mohammady
    2 april 2012 @ 16:08

    jätte bra

  22. Malory Omeara
    18 april 2012 @ 13:33

    Om jag inte får godkänt på provet jag har på fredag så är det erat fel.

  23. Susanne Folkeson Fd Nilsson
    25 maj 2012 @ 20:41

    lite hjälp till mattetentan.

  24. Daniel Saber
    1 juni 2012 @ 20:15

    lätt att förstå.

  25. Anette Jederström
    11 december 2012 @ 20:39

    Toppensida!

  26. Ruweyda Ismail
    25 januari 2013 @ 16:44

    den är sjukt dålig jag fattar inte ett endaste dug vad e det här bre

  27. William Eriksson
    10 augusti 2014 @ 17:36

    Jätte bra, tack för hjälpen!

  28. Lumina Larsson
    21 augusti 2014 @ 15:48

    2 * 3/5 + 1/3= ? vrf finns det inga exempel som är uppbyggda såhär?? xD hur räknar man

  29. Nini Btr
    12 oktober 2014 @ 12:51

    Hej