Jag har aldrig träffat någon matematiker som har varit kapabel till att tänka förnuftigt.

-Sokrates

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte B - Funktioner


Ickelinjära funktioner

Andragradsfunktioner

Exempel på andragradsfunktioner är funktioner, som beskrivs av sambanden och , där c är en konstant. Om vi ritar upp andragradsfunktionen så ser den ut såhär:
Funktioner

Andragradsfunktioners grafer kallas parabler. Man säger att grafen till en andragradsfunktion alltid är symmetrisk kring en lodrät linje som då kallas symmetrilinjen (är i detta fall y-axeln). Grafen löper på vardera sida om symmetrilinjen och de båda sidorna är varandras spegelbild dvs. grafen har samma koordinater fast i motsatta tal (minus och plus). Talen är motsatta y-värden då den är symmetrisk kring y-axeln t.ex. -1 och +1 och därmed är det lika stort avstånd till symmetrilinjen från båda punkterna. I de fall då funktionen är symmetrisk kring x-axeln talar man om motsatta x-värden.
Grafen illustrerar en positiv andragradsfunktion (), alla positiva andragradsfunktioner ser ut såhär, alltså att deras öppning är vänd uppåt. Punkten där kurvan vänder kallas vertex och är för positiva andragradsfunktioner den lägsta punkten på hela kurvan. I och med detta har den det minsta värdet som funktionen kan anta och kallas därför minimipunkt.

Om vi nu ritar upp en negativ andragradsfunktion så ser vi att även den har y-axeln som symmetrilinjen, men grafens öppning är vänd nedåt istället. Annars gäller det även för denna att grafen ser likadan ut på båda sidorna om y-axeln med positiva och negativa tal.
Funktioner
Punkten där de negativa andragradsfunktionerna vänder kallas maximipunkt eftersom det är det högsta värdet funktionen kan anta och grafens högst belägna punkt.

Som en enkel minnesregel kan man tänka sig andragradsfunktionernas grafer som en glad och en ledsen mun. Positiva funktioner ger en glad mun, negativa ger en ledsen mun. ;)

De funktioner vi har visat ovan är funktioner där konstanten c är lika med noll. Vad händer om vi låter c bli ett positivt tal, t.ex. ?
Jo, grafens utseende förblir oförändrat eftersom fortfarande står för sig själv, MEN grafens placering blir annorlunda. Värdet på konstanten bestämmer nämligen var i höjdled grafen befinner sig. Positivt värde på c gör att kurvans vändpunkt lägger sig på den positiva delen av y-axeln, ovanför origo, medan negativt värde gör att vändpunkten hamnar någonstans på den negativa y-axeln, nedanför origo.
I bilden ser ni skillnaden på (blå) och (grön).

Funktioner

Exempel 1

exempel på ickelinjär funktionFiguren visar två grafer till två funktioner. Dessa funktioner ges av ekvationer med formen . Ange ekvationerna blå respektive grön.


Vi börjar med den blå ekvationen som, helt klart, är en andragradare, dels för att uppgiften säger det ;) men också för att vi ser det på dess form. Vi ser också att grafen är öppen uppåt, med andra ord är andragradsfunktionen negativ.
Så långt har vi alltså , men har c något värde? Konstanten c visar ju att en kurva är förskjuten i höjdled, antingen uppåt eller nedåt. Den anger y-koordinaten som kurvans vändpunkt ligger i. Tittar vi på den blå grafen så ser vi att grafens vändpunkt ligger där y=3. Alltså får c värdet +3 och vi har listat ut den blå grafens ekvation:

Den gröna grafen är också en andragradare, men denna ser ut som en glad mun, kurvan pekar uppåt och därmed är x2 positiv. Om vi ser till var grafens vändpunkt är så ser vi att den ligger på punkten där y=-1,5. C har då värdet -1,5 vilket ger oss slutekvationen:

Svar: Den blå grafen har ekvationen och den gröna grafen har ekvationen .




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Lisa
    28 maj 2010 @ 13:15

    Men vad om grafens symmetrilinje inte skulle vara på y-axel, hur skriver man ekvationen då??

  2. Tobias
    28 maj 2010 @ 18:37

    tex: x^2 + x +1 har inte sin symmetrilinje på y-axeln.

    Alla andragradsekvationer på formen Ax^2 + Bx + C där A/=0 och B/=0 har en symmetrilinje som inte är på y-axeln

  3. Isak
    11 april 2011 @ 7:51

    Men, är inte -x^2 samma som x^2 eftersom om man kvadrerar ett negativt tal blir det positivt?
    Förstår inte varför det blir annorlunda på grafen då..

  4. Simon
    11 april 2011 @ 18:33

    Jo så blir det om man räknar ut värden på grafen. Men -x^2 osv är ju en beskrivning på hur alla värdena ser ut – samtidigt. Sen måste man ju tänka på att det är skillnad på -(x^2) och (-x)^2.

  5. Cissi
    9 november 2011 @ 10:04

    hejsan! hur bär man sig åt för att analysera talet f(x) = x^2 och f(x)=x^3 utifrån definitionsmängd och värdemängd?