Matematik är som kärlek - en enkel idé, med det kan bli komplicerat.

-Okänd

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte B - Funktioner


Proportionalitet mot x2 och √x

Proportionalitet mot x2

där k är proportionalitetskonstanten.


Det regeln här ovan säger är att y är proportionell mot x2. Vi kan alltså beräkna proportionalitetskonstanten k genom att dela y med x2. I funktioner med det utseende som hos regeln råder det proportionalitet. I en funktion som har har utseendet y=4x2+3 så råder det inte proportionalitet då den har en konstant utöver kx2.

Proportionaliteten kan bevisas på två sätt:

  • Algebraiskt, dvs man beräknar kvoten mellan x och y på några punkter. Får de samma kvot så råder det proportionalitet.
  • Grafiskt, man ritar upp ett diagram och prickar in värdena för alla y och deras respektive x-värde (x2-värde). Kan man dra en rak linje genom dessa och att linjen går genom origo så råder det proportionalitet mellan y och x.
Exempel 1

En liten vagn accelereras på en luftkuddebana av en kraft som får verka under en viss sträcka. Vagnen startar utan begynnelsefart och man bestämmer den slutfart x m/s som vagnen får då den rört sig den givna sträckan. Den energi y joule (J) som vagnen tillförts beräknas för olika stora krafter. I tabellen redovisas resultatet av en försöksserie.

y 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25
x 0,87 1,22 1,50 1,72 1,94

Visa algebraiskt att energin är proportionell mot kvadraten på farten och skriv upp sambandet mellan y och x.


Uppgiften ber oss bevisa att energin (y) är proportionell mot kvadraten på farten (x), alltså att y är proportionell mot x2. För att bevisa om det råder proportionalitet mellan dessa så beräknar vi k enligt regeln ovan som säger att .
Alltså är .





Som vi ser så få vi näst intill lika stor kvot på alla divisionerna vilket bevisar att y är proportionellt mot x2.
Medelvärdet på k blir:

Då vi vet k kan vi skriva upp sambandet

Svar: Ja, y är proportionellt mot x2 och .

Proportionalitet mot √x

där k är proportionalitetskonstanten.

Precis som i Proportionalitet mot x2 så kan proportionaliteten påvisas både algebraiskt och grafiskt.

  • Algebraiskt, dvs man beräknar kvoten mellan x och y på några punkter. Får de samma kvot så råder det proportionalitet.
  • Grafiskt, man ritar upp ett diagram och prickar in värdena för alla y och deras respektive x-värde (√x-värde). Kan man dra en rak linje genom dessa och att linjen går genom origo så råder det proportionalitet mellan y och x.
Exempel 2

Man låter en liten blykula falla fritt en sträcka som är x meter. Med elektronisk hjälp lyckas man bestämma kulans slutfart y m/s. Mätvärdena presenteras i tabellen:

x 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20
y 2,0 2,8 3,4 3,9 4,4 4,8

a) Visa algebraiskt att slutfarten är proportionell mot kvadratroten ur sträckan och bestäm ett värde på proportionalitetskonstanten.
b) Bestäm sambandet mellan y och x.


a) Här ska vi alltså bevisa att y (slutfarten) är proportionellt mot √x (kvadratroten ur sträckan). Precis som i exemplet med x2 så beräknar vi kvoten mellan y och √x.
alltså:


Vi ser att det råder liknande kvoter vilket innebär att y är proportionell mot √x. Medelvärdet på k är:

b) Vi sätter in värdet på k i formeln y=kx2:




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer