Det högsta graden av ren tanke tänks i matematik.

-Platon

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte C - Derivata


Definition av derivata

Definition av derivata


Man utläser f’(a) ”f prim a”.
Derivatan motsvarar tangentens riktningskoefficient i punkten P, alltså derivatan är då man tittar på lutningen i en viss punkt på en graf.

Då man drar en tangent till en funktion i en viss punkt så utgår man från punkten och ser sedan till att det raka strecket (tangenten) följer den ursprungliga grafen så mycket som möjligt på båda sidorna.
Då vi ska beräkna den så gör vi på följande sätt:

Exempel 1

Beräkna f(3) och f(-2), exakt, då f(x) = 10x2



I båda dessa tal så gör vi följande för att räkna ut derivatan: Vi ersätter a i uttrycket

med 3 respektive -2 i de olika talen. Där det står f(a+h) ska man stoppa in funktionen som, i detta fall, är f(x)=10x2 och sedan ersätta x:et i funktionen med (a+h). I dessa två fall så är a satt till att var lika med 3 respektive -2 vilket vi då skriver in i parentesen.

Parentesen (a+h) behandlar vi alltså som om det vore x:et i funktionen. (Se rationella uttryck) Vi tar parentesen upphöjt till två och sedan gånger tio enligt funktionen f(x)=10x2. Siffran som vi sätter in på platsen där f(a) sitter, får vi lätt fram genom att sätta in talet 3 eller -2 i funktionen f(x)= 10x2. Detta ger oss:


Och

Lite längre fram i exemplena, då vi har 60h+10h2 eller -40h+10h2 kvar så faktoriserar vi det (kolla på innehållet i talen och bryt ut ett h) och får då ett h utanför parentesen vilket gör att vi kan dividera bort det med nämnaren. Redan från början har vi med hjälp av ”lim h –>0” visat att h går mot noll, och då vi tar bort uttrycket blir h=0 automatiskt och därmed försvinner det tal som multipliceras med nollan (h:et).

Derivata med annat skrivsätt

Derivatan kan även skrivas så här:


Hur vi använder den beteckningen kan ni se i exemplet nedan.

Exempel 2

Låt f(x) = x2+1 och beräkna och skriv resultatet som en derivata


Förklaring av exemplet ovan:
Där det står f(x) sätter vi helt enkelt in uttrycket x2+1 eftersom det är x:et som står som variabel. Där det är a som står som variabel sätter vi in samma funktion, fast ersätter x:et med a:et. Efter lite uträkningar kommer vi fram till:

Om vi kikar i täljaren så ser vi att talet x2 – a2 ser ut som ett exempel på konjugatregeln >>. Då vet vi att man även kan skriva det på detta vis (se nedan) och till vår stora lycka har vi blivit av med nämnaren.


Om vi läser noga i början så ser vi att x går mot a, alltså omvandlas x till ett a och vi har slutligen 2a! Lätt som en plätt!

Deriveringsregler

Det finns massor av deriveringsregler. Många av dem används inte i den här kursen. Här hittar du en lista på dem vanligaste deriveringsreglerna.




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Sarah
    22 juli 2010 @ 11:49

    Hej!
    Du som jag är så förstår jag inte varifrån 1:orna kommer i ex 2.
    Tacksamm för hjälp!

  2. Tobias
    22 juli 2010 @ 22:55

    Det är klart du inte förstår det. Det är fel funktion. Jag har nu skrivit om funktionen i exempel 2. Nu är det mer klart var i från ettorna kommer.

  3. Filip
    12 februari 2011 @ 21:23

    Väldigt bra sida Tobias, jag tackar :)

  4. Tim
    26 maj 2011 @ 18:12

    Fråga angående första exemplet:
    Du vill räkna ut f(3) och f(-2), och börjar direkt med att räkna ut derivatan. Varför? Om du vill räkna ut f’(3) kan jag förstå det, men f(3)?

  5. dennis
    22 november 2011 @ 21:21

    Derivera funktionen
    y = e^0,5x + 2x^3 + 1/x^3 – µx + 4/µx + 4 +2^3x
    µ = är ruten ur , hittade inte tecknet

    Får det till
    y’ = 0,5e^0,5x + 6×2 – 3/x^4 – 1/2µx – 2/x^3/2 + ln(2) * 2^3x

    vet inte om det är rätt? Hjälp mig

  6. Hans-Olof Flodmark
    14 februari 2012 @ 7:35

    Om man har glömt innebörden av derivering. så är detta en utmärkt resurs.

  7. Roger Svensson
    12 juni 2012 @ 15:08

    Underbar sida

  8. Alexander Golebiowski
    8 oktober 2012 @ 13:19

    HERRE GUD derivata är det roligaste jag vet. Nu vet jag vad jag ska spendera eftermiddag på!

  9. Ludvig Mejri
    2 juni 2015 @ 8:58

    Jag älskar er webbsida!