Matematik är talens grammatik

-Hans Lohberger

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte D - Integraler


Integraler och primitiva funktioner

Integralkalkylens huvudsats

Om vi använder oss av rektangelmetoden då vi beräknar en integral så kommer vi inte få ett exakt värde. Och om vi ville ha ett hyfsat närmevärde så blir beräkningen fort ganska besvärlig och kräver oftast extra teknisk utrustning. Men, det finns ett betydligt enklare sätt att beräkna integraler, det görs med hjälp av primitiva funktioner.
Då vi ska beräkna en integral gör vi om funktionen f(x) till en primitiv funktion F(x) och sätter sedan in gränsvärdena a respektive b där x finns.


Notera att då man skriver om f(x) till en primitiv funktion i en integral så behöver man inte bry sig om konstanten C som man normalt sett skriver till då en primitiv funktion skrivs.

Exempel 1

Beräkna integralen



Resultat:

Okej, det första vi gör är att skriva om x2+3 till en primitiv funktion; vi plussar med 1 på den upphöjda tvåan och får då 3, och därmed måste vi även skriva att x3 ska delas med 3. Sedan har vi +3 som vi bara lägger till ett x. Sedan innesluter vi den i våra fina ”klamrar” och skriver till gränsvärden 0 och 2. När vi sedan ska räkna så börjar vi med att sätta in det övre gränsvärdet, alltså 2:an överallt där x finns. Då det är klart skriver vi minus och gör en parentes som ska innehålla den primitiva funktionen då x:en har ersatts med det undre gränsvärdet. Sedan är det bara att räkna ut och här får vi svaret 26/3.

Exempel 2

Ett fordon har hastigheten km/h vid tiden t h, då Beräkna hur långt fordonet rör sig under detta tidsintervall.


Som vi tidigare fick veta så är formeln för hastigheten hos ett föremål detsamma som den deriverade formeln för sträckan:

För att kunna ta reda på hur långt fordonet rör sig under det angivna tidsintervallet måste vi ju göra om vår hastighetsformel till en formel för sträckan, och detta gör vi genom att skriva upp en integral där vi skriver den primitiva funktionen för hastigheten.





Först skriver vi om hastighetsuttrycket så det blir lättare att hantera, multiplicera in 300 i parentesen. Sedan gör vi om uttrycket till en primitiv funktion, alltså derivera baklänges. 300t blir 300t2 och ökar vi med 1 på det upphöjda talet (exponenten) så måste vi dela hela talet med det tal vi får fram. Då vi fick fram t2 så måste vi dela 300t2 med 2. Likadant gäller för -300t2 som blir 300t3 delat med 3. Sedan kan man välja om man vill utföra divisionen och få fram 150t2 respektive 100t3, det går även att behålla uttrycket som det är och räkna med nämnarna då vi räknar med intervallgränserna.
Nästa steg är att sätta in intervallgränserna i vårt nya uttryck. Den övre gränsen först sedan tar vi minus den undre gränsen och glöm inte att sätta den undre gränsen inom parentes. Sedan är det bara att räkna fram till dess att vi kommer fram till att fordonet har hunnit 50 km på en timma.

Tre räkneregler

(k är en konstant)


Den första regeln säger oss att om vi multiplicerar en integral med, låt säga 4, så kan man välja att antingen multiplicera den med integralen då den är uträknad, eller med funktionen som ska integreras. Det spelar ingen roll då man får samma svar.

Den andra regeln visar att om man vill plussa ihop två olika funktioner som ska integreras så kan man göra det antingen genom att addera de båda funktionerna med varandra eller lägga ihop de båda resultaten av respektive integral. MEN den förutsättning som krävs för detta är att de båda funktionerina har samma intervall, alltså samma integrationsgränser.

Den tredje regeln säger samma sak som den andra fast här gäller det minus istället för plus.

Exempel 3

För att slippa beräkna två integraler och sedan addera dem så kan vi ju här slå ihop funktionerna och beräkna den nya funktionen i en integral. Detta kan vi göra tack vare att de båda integralerna har likadant intervall: från 1 till 3. Det låter väl bra?
Vi börjar med att slå ihop funktionerna (5x2-3x+1) och (2-5x2). När vi har fått fram den nya funktionen (-3x+3), eller (3-3x) om ni föredrar det, så räknar vi ut den primitiva funktionen som vi placerar mellan klamrarna samtidigt som vi anger intervallet igen. Sedan börjar vi med att skriva den primitiva funktionen där x ersätts med 3 (det övre gränsvärdet) minus samma funktion där x ersätts med 1 (det undre gränsvärdet). Glöm inte att sätta det undre gränsvärdet inom parentes. Sedan Är det bara att räkna på! Svaret blir som ni ser -6.




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. CG
    4 juni 2010 @ 20:03

    Hur gör man om funkionen y=√(1-x^2) till en primitiv funktion?

  2. Simon
    8 augusti 2010 @ 20:28

    Frågor som denna hänvisar vi vänligen till Forumet :)

  3. Alexander Joelsson
    26 november 2010 @ 19:32

    När man ska finna en primitiv funktion till funktionen f(x)=1/lnx så kan man ju tillämpa någon form av exponentuppdelning.
    Ex: 1/lnx = lnx*(lnx^-2)
    Nu kan man använda sig av partiell integration:
    (I=integral)
    I(lnx*(lnx^-2))dx=(xlnx-x)(lnx^-2)-I( o.s.v.

  4. Simon
    28 november 2010 @ 16:05

    Ungefär så ja, men det är en aning överkurs för Matte D :)
    Vi har ett exempel på hur man integrerar ln x i vår del på Matte F:
    http://www.matteguiden.se/matte-f/integraler/partiell-integrering/#Exempel-med-brytning Exempel 5.