Matematik är vetenskapen där man inte vet vad man pratar om, inte ens om det man säger är sant.

-Bertrand Russel

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte B - Algebra


Andragradsekvationer

Andragradsekvationer

Då produkten a*b ska bli 0 så gäller det att åtminstone en utav faktorerna är 0. Det är en bra regel att veta om vi ska lösa en del ekvationer.

Exempel 1

Lös ekvationen
a)     b)


a)
Enligt regeln ovan måste åtminstone en utav parenteserna vara lika med 0.

eller a)

eller

b)

Här kan vi använda oss av faktoruppdelning x2 innehåller två stycken x och 3x innehåller en trea och ett x. 1x är gemensamt mellan de båda termerna, alltså sätter vi x framför parentesen och resten inuti parentesen.


eller
Alltså: (då 3-3=0)

Svar: a)     b)


Då vi ska lösa en andragradsekvation och blir tvungna att ta kvadratroten ur ett tal så får vi inte glömma att skriva så här:

Eftersom det är en andragradsekvation så har den två lösningar men vi ser bara en om vi inte sätter dit plus-minus-tecknet. Då vi kvadrerar ett negativt tal blir det ju positivt. Man kan dock aldrig ta roten ur ett negativt tal, sådana saknar lösning.

Exempel 2

Lös ekvationen


Vi får alltså två svar: +7 och -7 då (-7) *(-7) =49

Svar:

Lösningsformel för andragradsekvationer

Alla andragradare går inte att lösa lika lätt, till hjälp har vi då pq-formeln. Den löser man först och främst ekvationer som har det karakteristiska utseendet:

Ibland kan man behöva skriva om ekvationen lite så att den ser ut så här. I alla fall, de ekvationer som har detta utseende får lösningarna:

Notera att talet som slutligen bildas inuti kvadratroten inte får bli negativt.

Exempel 3

Lös ekvationen


Vi jämför ekvationen ovan med pq-formelns utseende och ser då att 4:an motsvara p:et och 3:an motsvarar q:et. Alltså:
och

Vi beräknar de båda värdena x kan ha genom att sätta in värdena på p och q i lösningsformeln:

Minustecknena tar ut varandra så vi får +2. -4/2 blir -2 och när vi tar -2 upphöjt till 2 får vi +4.

Svar:




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Mikael Larsson
    8 maj 2010 @ 22:47

    Pqformeln är för samhällsvetare och andra lägre stående matematiker. Alla som skall läsa längre än mattematik b har större nytta av kvadratkomplettering, eftersom det ger en större förståelse för högre mattematik.

  2. Hanna Larsson
    9 maj 2010 @ 12:37

    Matematik stavas med ett (t).

  3. Tobias
    9 maj 2010 @ 16:18

    PQ-formeln är en typ av kvadratkomplettering. Jag skulle inte vilja påstå att gymnasiematten kräver att man ska använda kvadratkomplettering. På högskolan krävde dem att man kunde kvadratkomplettera men sa samtidigt att man skulle använda PQ-formeln om man kunde. Den är ju lättare att använda =)

    Det är ju som att säga att man inte ska använda deriveringsreglerna utan att man ska använda Taylor-utveckling istället, för att det ger en djupare förståelse för högre matematik.

  4. Kastro
    16 maj 2010 @ 23:43

    Var får du 2,an ifrån?
    du byter ju p och q med siffrorna men var i — får du 2an ifrån , från x^2 eller???

  5. Tobias
    17 maj 2010 @ 6:34

    2:an i PQ-formeln är där per definition, den är alltid där.

    Man tar alltid: -p/2 +- √( (p/2)2 -q )

  6. Max
    17 maj 2010 @ 15:35

    Försökte tillämpa denna PQ-formeln på x^2+2x-8=0
    På miniräknaren slog jag in:
    (-2/2)+-(r(2/2)^2-8)
    och fick svaret 6, när facit säger att x1=-4 och x2=2 ?
    Vad har gått snett?

  7. Axel
    17 maj 2010 @ 16:50

    q i ditt fall -8 byter tecken i pq-formeln, så istället för minus 8 blir det plus 8. vilket ger roten ur (1+8) 9 alltså, -1 +- 3, ( X1= -4 X2= 2 )

    Hoppas du förstår

  8. Max
    17 maj 2010 @ 18:45

    Ahh! Förstod först inte var du hade fått -1 +- 3 ifrån, men nu ser jag.
    Tack för hjälpen, lär uppskattas under morgondagens prov :) .

  9. Helene Åkvist
    17 maj 2010 @ 22:33

    X^2-4x-12=0 hur löser man detta

  10. Janne
    18 maj 2010 @ 0:14

    Haha, nationella imorgon va!

    Helene: Använd PQ-formeln: -p/2 +- √((p/2)^2 -q)

    I ditt fall: x^2 -4x -12 = 0 så är p = -4 och q = -12.

    Stoppa in p = -4 och q = -12 i PQ-formeln:
    -(-4)/2 +- √((-4/2)^2 -(-12))

    Vi delar upp det. Först: -(-4)/2 = 2
    Sedan: (-4/2)^2 -(-12)) = 4 + 12 = 16
    √16 = 4.

    X = 2+-4
    X1 = -2
    X2 = 6

    Hoppas det hjälpte.. och var rätt, jag har ju faktiskt nationella själv imorgon.

  11. Kastro
    18 maj 2010 @ 7:43

    Haha, jaha vare den, tack Tobias.

    Jag hoppas att jag tagit del av matteguidens hjälpmedel för nu ska jag till näp Matte B.

  12. Sofie
    1 juni 2010 @ 11:44

    Nja, kan inte riktigt hålla med om att Pq formeln är lättare än kvadratkomplettering. Asså på kvadratkomplettering handlar det mer om att lära sig de olika stegen utantill sen kan man det!No big deal. Använde kvadratkompletteringen på np för några veckor sen och it went well. Stegen och hur exakt man ska lösa det står i Matte-boken!

  13. Linnea
    24 oktober 2010 @ 18:08

    Jag har ett tal som ser ut såhär:

    x^2-6x+5=0

    svaret i facit ska bli x1=5, x2=1, men jag får x2= -5…?

    Varför??

  14. Simon
    1 november 2010 @ 14:01

    Specifika uppgifter vill vi att de ska ställas i forumet. Snälla gör detta, där får ni nog snabbast svar också! Annars kommer vi få 1400 rader med frågor om specifika uppgifter. Detta vill vi helst undvika =)

  15. Filip
    23 november 2010 @ 11:44

    RE: Linnea

    x^2-6x+5=0

    x= -(-6/2)+-√(-6/2)^2-3
    X= 3+- √9-3
    x= 3+- √4
    X= 3+- 2

  16. Johan
    19 januari 2011 @ 3:19

    Filip, var får du -3 i slutet ifrån?

    Ska det itne vara 5? Dvs, Q är 5, inte 3?

  17. smilygirl
    12 mars 2011 @ 18:06

    jag iundrar hur man gör på ett sådant tal:
    4,5x upphöjt till 2+36x+9t=0

  18. jesper
    17 mars 2011 @ 15:42

    Smilygirl:

    Dela hela uttrycket med 4,5 så att du bara får x^2 alltså:

    (4,5x^2/4,5) + 36x/4,5 + 9/4,5 = 0
    då får du
    x^2+8x+2=0 det kan du sen göra t.ex. pq formeln på.

  19. Albin Johansson
    29 mars 2011 @ 19:34

    Jättebra hjälp! Kommer förmodligen använda mig lite av denna sida när jag attackerar MaC i höst också.

    Mvh

  20. Gunnar
    16 maj 2011 @ 20:11

    När man ska slå in pq-formeln på mineräknaren, vad slår man då när man ska skriva +-?

  21. Tobias
    16 maj 2011 @ 21:54

    Hej Gunnar.
    PQ-formeln ger två svar, ena svaret då du använder + och det andra när du använder -.

    Vill du att din miniräknare ska hjälpa dig med PQ-formeln så kika på denna sida: http://www.matteguiden.se/grafraknare/program/andragradsekvation/

  22. randa
    4 september 2011 @ 17:27

    hej hur ska jag lösa dena här ekvationer x(5-x9)=7(x-9)och 0,1x^2 +x+0,9=0 och x=0,4(x^2+1)

  23. Malin
    8 september 2011 @ 16:41

    Bra sammanfattningar överlag av de områden jag hunnit kika igenom (ska skriva hp i höst och behöver väcka liv i gamla mattekunskaper) Tänkte bara hänvisa till en sida med beviset för pq-formeln, som komplettering till förklaringen
    “Ibland kan man behöva skriva om ekvationen lite så att den ser ut så här. I alla fall, de ekvationer som har detta utseende får lösningarna (sedan pq-formeln uppställd)” ovanför.

    http://www.formler.se/bevis-av-pq-formeln/888/

  24. blackberry
    18 december 2011 @ 15:23

    akuthjäpl!!! hur löser man ett sådant tal: -11x+14<47

  25. Daria
    18 december 2011 @ 20:21

    Kan nån hjälpa mig med min lösning, jag gör nånting fel med vad??

    x^2-6x-16=0
    -3+√(3)^2 – 16
    -3+√9-16
    -3+-7

    Det är nånting som stämmer inte väl va??

    Någon som kan hjälpa mig??

    SNÄLLA

  26. Susanne Sushii Lundmark
    8 februari 2012 @ 11:51

    nice

  27. Jessica Johansson
    10 april 2012 @ 18:15

    fantastiskt!<3

  28. Jessica Johansson
    10 april 2012 @ 18:15

    fantastiskt!<3

  29. Jessica Johansson
    10 april 2012 @ 18:15

    fantastiskt!<3

  30. Jonna Elisabeth Sjöholm
    19 april 2012 @ 17:43

    tkr det är svårt att veta när + blir – och vise versa.

  31. Fanny Franzén
    28 augusti 2012 @ 13:13

    Bra beskrivning. Ni hjälpte mig fixa matte a nu hjälper ni mig att fixa det jag har kvar av matte b :)

  32. Lukas Gustavsson
    4 februari 2016 @ 20:04

    bög