Jag har aldrig träffat någon matematiker som har varit kapabel till att tänka förnuftigt.

-Sokrates

Välkommen till Matteguiden!
Här förklaras gymnasiematten utan vrickade härledningar och bevis, som oftast bara krånglar till det hela ännu mer. Duger inte förklaringarna på sidan så kika gärna in i forumet där du både kan bli hjälpt och hjälpa andra.

Matte E - Differentialekvationer


Ekvationer av andra ordningen

Ekvationen y” = g(x)

Exempel 1

Lös differentialekvationen


Detta är den enklaste inhomogena differentialekvationen av andra ordningen. Vi löser den genom att skriva de primitiva funktionerna.

Svar:

Ekvationen y” + ay’ + by = 0

Detta är en homogen differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter. Den har den allmänna lösningen:

har den allmänna lösningen:

Exempel 2

Bestäm den lösning till för vilken y(0)=0 och y’(0)=1.


Den allmänna lösningen är
Då vi vet dessa villkor så kan vi räkna ut de två konstanterna C1 och C2:

Svar:

Den allmänna lösningen

Håller ni inte med om att ekvationen ovanför liknar PQ-formeln? Visst gör den det. Och med hjälp av denna liknelse kan vi lösa ekvationen. Då vi skriver PQ-formeln använder vi oss av lite andra bokstäver:

Denna kallas för den karakteristiska ekvationen, och beroende på vad man får för svar på rötterna r1 och r2 så skiljer sig metoderna för att få fram en lösning.

1. Om den karakteristiska ekvationen har två olika rötter (reella) får differentialekvationen lösningen:

2. Om den karakteristiska ekvationens rötter är desamma och då reella (r1 = r2) är lösningen:

3. Om den karakteristiska ekvationens rötter är komplexa (i) och då varandras konjugat: så är lösningen:

Exempel 3




Gillade du denna sida? Hjälp andra att hitta den!

Genom att trycka på länkarna här över så sprider du ordet om Matteguiden och hjälper oss att växa. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.



Äldre kommentarer

  1. Jakob
    27 mars 2011 @ 23:09

    Jag fattar NADA…

    o imorn är det prov ^.-

    GAME OVER

  2. Adde
    6 april 2011 @ 20:34

    Samma här….Helvete!

  3. Kajsa
    22 maj 2011 @ 10:07

    Hur vet du att C1 blir 2? Testar du bara eller finns det någon formel?

  4. Micael
    3 augusti 2011 @ 13:37

    Kajsa: Om man löser ekvationsystemet innan (m.h.a. t.ex. additionsmetoden eller substitutionsmetoden eller matriser) så får man fram vad konstanterna ska vara. Prova att sätta in värdena -2 och +2 i ekvationssystemt så får du se att det blir rätt för respektive ekvation.

  5. Sanna
    31 oktober 2011 @ 13:13

    Hur vet vi i andra exemplet —2 C2 = 1, alltså varför just —2 C2 ?